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Die Türme von Prim


Die unbewussten Weisheiten
sind verborgene Schätze!




                                            

Empfohlene Vorkenntnisse

•  Die Primzahlen-Anekdote
•  Video „Die Türme von Prim (Teil 1 – Kurzversion)“

•  Glossar (öffnet sich im neuen Tab/Fenster)


Inhaltsverzeichnis

1 Eratosthenes und der Nebel der Jahrtausende
2 Der Algorithmus zur Primzahlenermittlung ohne zu rechnen
3 Die Eins ist keine Primzahl
4 Die Zwei ist eine Primzahl
5 Das Konzept der Prim-Oszillatoren
6 Einfache Prim-Oszillatoren
7 Kaskadierung der Prim-Oszillatoren
8 Superoszillatorkaskaden und Superoszillatoren
9 Wichtige Kennwerte der Superoszillatoren



                                            

1 Eratosthenes und der Nebel der Jahrtausende

In meinem Film „Die Türme von Prim“ (englischer Titel: “The Towers of Prime”) wird gezeigt, dass alle Primzahlen korrekt und in lückenloser aufsteigender Reihenfolge ermittelt werden können, ohne zu rechnen. In diesem Beitrag werde ich nachfolgend die Funktionsweise der „Türme von Prim“ genau erläutern. Falls Sie sich den Film also noch nicht angeschaut haben, empfehle ich, dies vor der Lektüre dieses Beitrags nachzuholen, da der Beitrag sich häufig direkt auf den Film bezieht. Es gibt inzwischen zwei Versionen des ersten Teils des Films. Die extrem experimentelle Originalversion ist für Jugendliche gedacht, die einen coolen Film erwarten. Eine schlichtere Kurzversion habe ich für Interessierte erstellt, die extreme Animationseffekte eher als störend empfinden.

Link zu den Videos

In dem Film ermitteln vier fiktive Türme-Bauarbeiter die Primzahlenfolge korrekt, obwohl keiner von ihnen rechnen kann und jeder lediglich einen einfachen Handgriff beherrscht. Nachfolgend sind ihre jeweiligen Handgriffe – nicht aber die Bedingungen für diese Handgriffe – genannt. Diese vier Handgriffe gelten für die in Teil 2 des Films (dieser ist in Arbeit!) gezeigte Variante. Für das Verständnis ist aber Teil 1 völlig ausreichend.

Arbeiter 1: Turmsteine von Turm-Abbauplätzen (grün) auf Turm-Aufbauplätze (rot) umstapeln
Arbeiter 2: Komplett umgestapelte Türme sofort auf die Turm-Abbauplätze zurückschieben
Arbeiter 3: Aufstapeln der Neubautürme auf den Turm-Neubauplätzen (blau)
Arbeiter 4: Neuen Turm-Aufbauplatz (rot) einrichten

Für diejenigen, die sich den Film schon mal angeschaut haben, reicht wohl zur Erinnerung das folgende Bild des Türmebaufeldes mit der Türmekonstellation nach dem Auffinden der zehnten Primzahl (P10 = 29). Ein blauer Turm-Aufbauplatz mit einem 29 Steine hohen Neubauturm fehlt in dem Bild allerdings. Er wäre vorhanden, wenn im Film 11 statt nur 10 erste Primzahlen ermittelt worden wären.

Bild 1.1: „Die Türme von Prim“, Szene unmittelbar nach der Ermittlung der zehnten Primzahl (P10 = 29)


Denklogisch scheint es ja so zu sein, dass diese vier bedingten Handgriffe der Arbeiter das Bildungsgesetz für die Primzahlenfolge sowohl korrekt als auch komplett widerspiegeln müssen. Denn sonst könnte unmöglich die fehlerfreie Primzahlenfolge ohne zu rechnen ermittelt werden. Oder?

Aber wie steckt das Bildungsgesetz, von dem heute noch viele Menschen behaupten, man kenne es gar nicht, in diesen vier Regeln?

Auf diese Frage gibt es eine sehr einfache Antwort: GAR NICHT!

Die vier Regeln habe ich als einen Kunstgriff erfunden, um den Betrachter des Films damit zu konfrontieren, dass offensichtlich das Bildungsgesetz für die Primzahlenfolge sehr wohl bekannt ist. Der rein anschauliche Beweis dafür ist die korrekt ermittelte Primzahlenfolge, was im Film ja gezeigt wird. Aber auch der streng mathematische Beweis ist schon lange vor unserer Zeit erbracht worden! Wo also steckt nun das Bildungsgesetz genau, wenn nicht in den vier Regeln?

Auch auf diese Frage gibt es eine sehr einfache Antwort: IN DEM AUTOMAT!

In welchem Automat?

In dem Film wird gezeigt, wie sog. Prim-Neubautürme heranwachsen, bis die Anzahl der Turmsteine der nächsten ermittelten Primzahl entspricht. Danach wird durch das Einrichten eines neuen Turm-Aufbauplatzes für den vollendeten Turm ein (von mir so genannter) Prim-Oszillator eingerichtet. Dieser Oszillator schwingt dann mit weiter wachsender Rundennummer N mit einer Periode, die der Primzahl entspricht. Das Umstapeln eines Turms mit sofortigem Zurückschieben des vollständig umgestapelten Turms entspricht formal einer Division mit Rest (Informatiker sprechen hier von einer Modulo-Operation und Mathematiker benutzen den Begriff Ringe statt Oszillatoren).

Auf den (roten) Turm-Aufbauplätzen befinden sich also stets die ganzzahligen Reste, die sich ergeben, wenn man die Rundennummer N durch die jeweilige i-te Primzahl Pi teilt.

Zu kompliziert? Eine verständlichere Darstellung folgt noch in den nächsten Abschnitten. An dieser Stelle ist jedoch die Feststellung sehr wichtig, dass ein leerer Turm-Aufbauplatz nur dann auftritt, wenn der Rest der Division (Rundenzahl N / Primzahl Pi) null ist. Dies wiederum kommt nur dann zustande, wenn die Rundenzahl N ein Vielfaches der jeweiligen Primzahl Pi ist. Der zugehörige (rote) Turm-Aufbauplatz ist dann leer, weshalb die Regel 4 im Film blockiert wird, so dass die aktuelle Rundenzahl N nicht als die nächste Primzahl akzeptiert wird.

Die Prim-Oszillatoren sorgen also dafür, dass die Vielfachen der entsprechenden Primzahlen jeweils als mögliche Primzahlenkandidaten automatisch gestrichen werden. Ein einziges (rotes) leeres Turm-Aufbaufeld signalisiert eine Streichung des aktuellen Primzahlen-Kandidaten, die aktuelle Rundenzahl N wird daher nicht als Primzahl akzeptiert.

Ich wurde gefragt, warum ich die Turm-Abbauplätze grün und die Turm-Aufbauplätze rot dargestellt habe. Man würde es doch andersrum erwarten. Meine Antwort hierzu ist: Im Grunde ist es egal, welche Farben die jeweiligen Turmplätze haben. Tatsächlich aber habe ich daran gedacht, dass ein leerer roter Turm-Aufbauplatz de facto eine rote Karte für die aktuelle Rundenzahl N als Primzahlkandidat darstellt. Und eine einzige rote Karte reicht aus, um N als Primzahl zu verwerfen.

Was ist nun eigentlich der Automat?

Der ständig sich selbst erweiternde Automat ist das Türmebaufeld an sich, mit den drei unterschiedlichen Türmebauplätzen und den Türmen darauf. Die Türme bestimmen den inneren Zustand des (Zustands-)Automaten. Dieser Automat beinhaltet also aufgrund seiner Konstruktion und in Verbindung mit den vier Regeln das Bildungsgesetz für die Primzahlenfolge. Er wird von den vier Türme-Bauarbeitern mittels ihrer einfachen Regeln bedient und ermittelt rein mechanisch die Primzahlenfolge. Der Algorithmus zur Primzahlenermittlung steckt also mehr in der Architektur des Automaten und weniger in den vier Regeln der Arbeiter.

Etwas mathematischer ausgedrückt, ist die Bedingung für das Auftreten der jeweils nächsten Primzahl Pk+1 genau dann erfüllt, wenn erstmalig gilt:

Oi = (N mod Pi) > 0, für alle i, i = 1 bis k. (1.1)

Dabei steht i für die i-te Primzahl Pi (P1 = 2, P2 = 3, usw.) bzw. für den zugehörigen i-ten Oszillator Oi = „Rest der Division N durch Pi“, k steht für die Anzahl der ersten bereits ermittelten Primzahlen.

Wer in der Schule gut aufgepasst hat, der hat an dieser Stelle vielleicht bereits geschlussfolgert, dass das Bildungsgesetz der Primzahlenfolge im Grunde schon seit Äonen – wenn auch unbewusst – bekannt ist. Denn das Streichen der Vielfachen der bereits bekannten Primzahlen, das mithilfe der Prim-Oszillatoren Oi des Automaten mechanisiert worden ist, hat bereits Eratosthenes von Kyrene im 3. Jahrhundert v. Chr. gelehrt. Bekannt ist seine Lehre unter dem Begriff Sieb des Eratosthenes. Vermutlich ist dieses Verfahren aber schon viel länger bekannt.

Tatsächlich hatte ich bei meinen frühen Überlegungen zu „den Türmen von Prim“ das „Sieb des Eratosthenes“ überhaupt nicht im Sinn. Erst bei meinen späteren Recherchen nach einer evtl. schon existierenden Quelle für das Bildungsgesetz der Primzahlenfolge traf ich immer wieder auf dieses legendäre Sieb. Allerdings wurde es nirgendwo in einen Zusammenhang mit dem Bildungsgesetz der Primzahlenfolge gebracht. Aber meiner persönlichen Überzeugung nach besteht hier ein direkter Zusammenhang. Für mich ist klar: Sowohl das Sieb als auch die Türme beinhalten das einzige (ja, das einzig mögliche) Bildungsgesetz der Primzahlenfolge. Sie stellen somit – wenn auch etwas versteckt – genau das Gleiche dar.

Allerdings sind „Die Türme von Prim“ mit ihrem Prinzip der Prim-Oszillatoren wesentlich anschaulicher. Und sie verraten auch viel mehr über die Primzahlen sowie über die innere Struktur der Primzahlenfolge an sich. In weiteren Beiträgen werde ich noch einige interessante und zum Teil erstaunliche Aspekte hierzu aufzeigen. Natürlich möglichst unwissenschaftlich und daher (hoffentlich) für jedermann verständlich. Nennen wir es Primzahlentheorie für jeden!

Heute versetzt es mich zunehmend in Erstaunen, wenn ich darüber nachdenke, dass die Menschen seit Jahrtausenden das Bildungsgesetz der Primzahlenfolge stets direkt vor Augen hatten, es also sehr wohl kannten, es als solches aber nicht erkannten. Zumindest hat es für mich heute den Anschein, dass es so ist. Warum existieren „Die Türme von Prim“ nicht schon mindestens so lange wie „Die Türme von Hanoi“?

Nachdem sich soeben der Nebel der Jahrtausende verflüchtigt hat, wäre eine aktuelle Bestandsaufnahme angebracht. Wie wird das Bildungsgesetz der Primzahlenfolge heute gelehrt und wie sieht die didaktische Zukunft mit „den Türmen von Prim“ aus?

Es sind allerdings auch noch andere Automaten zur mechanischen Ermittlung der Primzahlen denkbar, z. B. mit Zahnrädern. Die Anzahl Zähne des i-ten Zahnrads Zi würde dann der Primzahl Pi entsprechen. Das letzte Zahnrad zum Auffinden der nächsten Primzahl Pk+1 müsste allerdings in jeder Runde N durch ein Zahnrad mit einem Zahn mehr ersetzt werden. Für jede neue Primzahl käme ein weiteres Zahnrad hinzu. Die Zähne der Zahnräder Zi wären von 0 bis Pi - 1 durchnummeriert, was den möglichen Restwerten der Division N / Pi entspricht. Jede 0 an der jeweiligen Ableseposition der Zahnnummer wäre eine rote Karte mit der Bedeutung, dass N keine Primzahl ist.

Wir sehen also, es gibt zahlreiche weitere Möglichkeiten, das Bildungsgesetz der Primzahlenfolge zu verstecken. Aber letztendlich läuft es immer wieder auf die Prim-Oszillatoren hinaus, die im Verborgenen vermeintlich eine genauso wichtige Rolle in der Mathematik spielen wie die Primzahlen selbst.

Bei der Ermittlung der Primzahlen mithilfe der „Türme von Prim“ lässt sich der Ablauf nach jeder abgeschlossenen Runde N unterbrechen, wobei für eine spätere Wiederaufnahme des Ablaufs in der Runde N+1 lediglich die bisher ermittelten Primzahlen Pi und die zur Runde N zugehörigen Oi zwischengespeichert werden müssen. Hat also ein Computer bereits sehr viele erste Primzahlen lückenlos ermittelt, kann er (oder ein anderer Computer) nach dem Wiederherstellen der beiden Datensätze Pi und Oi in einem entsprechend weit ausgebauten Primzahlenautomat nahtlos mit der lückenlosen Ermittlung weiterer Primzahlen fortfahren. Dies hat aber nur eine theoretische (didaktische) Bedeutung, denn Primzahlen können mit diversen optimierten Verfahren effizienter berechnet (nicht ermittelt) werden.



                                            

2 Der Algorithmus zur Primzahlenermittlung ohne zu rechnen

Nachfolgend ist der in dem Film „Die Türme von Prim (Teil 1)“ vorgestellte Algorithmus zur Primzahlenermittlung beispielhaft in der Sprache C angegeben. Das Programm wurde als Konsolenanwendung in Visual Studio 2017 erstellt und getestet. Es ermittelt die ersten Primzahlen bis N = 100000 und schreibt sie zusammen mit den Primzahlnummern in eine Datei. Die Laufzeit liegt (abhängig vom Rechner) im Sekundenbereich.


// PrimFolge.cpp : Konsolenanwendung.
// Der Algorithmus des Primzahlenautomaten aus dem Film "Die Türme von Prim (Teil 1)". 
// Die Primzahlen werden wie im Film gezeigt quasi ohne zu rechnen ermittelt.
// "Die vier Regeln" aus dem Film werden hier algorithmisch umgesetzt. Es gibt neben
// Inkrementieren, Vergleichen und Zuweisen keine weiteren Rechenoperationen!

#include "stdafx.h"
#include "stdlib.h"

const int N_max = 100000;  // Maximale Zahl N, bis zu der Primzahlen ermittelt werden sollen.
int P_i[10000];  // Ausreichend groß bemessenes Array für die Primzahlen bis N_max.
int O_i[10000];  // Ausreichend groß bemessenes Array für die Primoszillator-Werte bis N_max.

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
  int N;  // Aktuelle auf Primzahl getestete Zahl (bis N == N_max).
  int k;  // Anzahl bisher gefundener Primzahlen.
  FILE *Datei;
  Datei = fopen("Primzahlen.txt", "wt");
  printf("Ermittlung der Primzahlen bis N = %d laeuft... ", N_max);
  P_i[0] = 0;  // Unbenutztes "nulltes" Array-Element initialisieren.
  
  // Anfangsbedingung festlegen:
  N = 2;  // 1 ist keine Primzahl, d. h. die erste Primzahl ist 2.
  k = 1;  // k(N == 2) = 1, d. h. bis zur 2 gibt es nur eine Primzahl.
  P_i[k] = N;  // Erste Primzahl merken.
  O_i[k] = N % P_i[k];  // Ersten Primoszillator-Wert "formal" ermitteln.
  fprintf(Datei, "%d %d\n", k, N);
  
  // Primzahlenfolge ermitteln, quasi "ohne zu rechnen":
  while (N < N_max)
  {
    int Primfaktoren = 0;  // Anzahl (verschiedener) Primfaktoren der aktuellen Zahl.
    int i = 1;  // In jeder neuen "Runde" N beginnt die Bearbeitung am ersten Türmefelder-Paar
    while (i <= k)
    {
      if (++O_i[i] == P_i[i])  
      // Oszillator-Wert O_i[i] inkrementieren entspricht der Regel 1 (Umstapeln) im Film.
      // Gleichheit bedeutet Nulldurchgang des Oszillators (Turm ist komplett umgestapelt).
      {
        O_i[i] = 0;  // Nullsetzen entspricht hier der Regel 2 (Zurückschieben) im Film.
                     // Obiger Vergleich und diese Zuweisung ersetzen eine Modulo-Division!
        ++Primfaktoren;  // Ein (weiterer) Primfaktor wurde gefunden (leerer Turm-Aufbauplatz).
      }
      ++i;  // Zum nächsten Felder-Paar (Turm-Abbaufeld und Turm-Aufbaufeld) wechseln.
    }
    ++N;  // "Rundenzahl" N inkrementieren entspricht der Regel 3 im Film (Aufstapeln).
    if (Primfaktoren == 0) // Nächste Primzahl wurde gefunden (kein Türmebaufeld ist leer).
    {  // Regel 4 aus dem Film ist jetzt zu befolgen:
      ++k;  // Nächsten Turm-Aufbauplatz einrichten. 
      P_i[k] = N;  // Die neue Primzahl (Anzahl Turmsteine auf dem neuen Felder-Paar) merken.
      O_i[k] = 0;  // Neuen Primoszillator starten (der neue Turm-Aufbauplatz ist erstmal leer).
      fprintf(Datei, "%d %d\n", k, N);  // Primzahl-Nummer und neue Primzahl speichern.
    }
  }
  fclose (Datei);
  printf("Fertig!\nEs wurden %d Primzahlen bis N = %d gefunden.\n", k, N_max);
  printf("Siehe Ergebnis-Tabelle in der Datei 'Primzahlen.txt'.\n");
  printf("Letzte ermittelte Primzahl bis N = %d ist: %d.\n", N_max, P_i[k]);
  printf("Programm beenden mit Eingabe-Taste (Enter).\n");
  int c = getchar();
  return 0;
}



                                            

3 Die Eins ist keine Primzahl

Es gibt wichtige Gründe in der Mathematik, warum die Eins nicht als Primzahl angesehen wird. Der für mich am besten zu merkende Grund ist der, dass es nur eine einzige Primfaktor-Zerlegung einer Zahl geben darf. Beispiele:

45 = 3 ⋅ 3 ⋅ 5
24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3

Die Primfaktoren dürfen in beliebiger Reihenfolge stehen, aber ihre jeweilige Anzahl muss stets eindeutig sein. Würde man nun auch die 1 als Primzahl ansehen, wäre die Eindeutigkeit nicht mehr gegeben. Denn man könnte schreiben:

45 = 3 ⋅ 3 ⋅ 5
45 = 1 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5
45 = 1 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5
45 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5

Das System „Die Türme von Prim“ liefert einen weiteren, viel plausibleren Grund, warum die Eins nicht als Primzahl gelten darf. Der Primzahlenautomat wird beim Erscheinen einer neuen Primzahl Pk prinzipbedingt um einen neuen Prim-Oszillator Ok erweitert, der Werte zwischen 0 und Pk – 1 annehmen kann (Modulo-Division: Rest von N geteilt durch Pk). Bereits ein einziger Wert Oi = 0 disqualifiziert die aktuelle Zahl N als Primzahl.

Würde man nun die Eins als erste Primzahl ansehen, dann hätte man einen Prim-Oszillator mit der Periode 1. Dieser liefert jedoch immer nur den Wert 0 (Rest von 1 dividiert durch 1 ist 0).

Man kann sich das so vorstellen, dass am ersten Turmplatz-Paar nur ein einziger Turmstein vorhanden wäre. Dieser würde in jeder Runde gemäß Regel 1 vom Turm-Abbauplatz auf den Turm-Aufbauplatz verschoben und gemäß Regel 2 sofort wieder zurückgeschoben. Somit wäre stets der erste Turm-Aufbauplatz leer und die Regel 4 wäre dauerhaft blockiert. Der erste Turm-Aufbauplatz bliebe für immer auch der Einzige und der derart konstruktionsfehlerbehaftete Automat würde die Primzahlenfolge schlichtweg nicht ermitteln können.

Aus diesem Grund wird im Film eine Anfangsbedingung für die Regel 4 angewendet, nämlich die, dass ein Turm aus mindestens 2 Turmsteinen bestehen muss („ein einziger Turmstein ist kein Turm!“).



                                            

4 Die Zwei ist eine Primzahl

Manche Leute stören sich daran, dass die Zwei als Primzahl angesehen wird, nur weil sie „die einzige gerade Primzahl“ ist. Mit dem System „Die Türme von Prim“ lässt sich nun sehr anschaulich darstellen, dass die Zwei exakt dieselbe Rechtfertigung hat, prim zu sein, wie alle anderen anerkannten Primzahlen auch.

Um sich besser vorstellen zu können, wie der Primzahlenautomat mithilfe der Prim-Oszillatoren die Vielfachen aller Primzahlen als mögliche Primzahl-Kandidaten systematisch wegstreicht, ist es hilfreich, eine durch die Umgangssprache zementierte Denkweise „es gibt gerade und ungerade Zahlen“ zumindest vorübergehend aufzugeben und sich einer Verallgemeinerung zu öffnen. Die Auflösung der Blockade durch eine zementierte Denkweise gelingt bisweilen am besten, wenn unter bestimmten Umständen irreführende Sprachbegriffe „richtiggestellt“ werden.

Wir könnten ja anstatt „gerade“ und „ungerade“ auch „zweirade“ und „unzweirade“ sagen. Sinngemäß könnten wir weitere Begriffe wie „dreirade“ und „undreirade“, „fünfrade“ und „unfünfrade“, usw. einführen. Eine „x-rade Zahl“ wäre also eine Zahl, für die gilt, dass deren Division durch x den Rest 0 liefert. Eine „un-x-rade“ Zahl dividiert durch x hat hingegen einen Rest ungleich 0.

Nun ist es ja so, dass mit dem Erscheinen der Primzahl(!) 2 alle Vielfachen von 2, also die „zweiraden“ Zahlen, mindestens einmal den Primfaktor 2 enthalten und daher keine Primzahlen mehr sein können. Es kann also schon deshalb nur eine einzige „zweirade“ (also gerade) Primzahl 2 geben, WEIL 2 eine Primzahl IST! Bei der (allgemein anerkannten) Primzahl 3 passiert ja formal exakt dasselbe. Alle nachfolgenden Vielfachen von 3, also alle „dreiraden“ Zahlen, enthalten mindestens einmal den Primfaktor 3 und können daher keine Primzahlen mehr sein. Wer würde nun auf die Idee kommen, die Drei nicht als Primzahl ansehen zu wollen, nur weil sie die einzige „dreirade“ Primzahl ist?

Würde man also das Argument „Zwei kann keine Primzahl sein, weil sie die einzige zweirade Primzahl wäre“ sinngemäß auf alle „x-raden“ Zahlen anwenden, gäbe es wundersamerweise keine einzige Primzahl. Also lassen wir lieber gerade Zahlen „zweirade“ Zahlen und die „zweirade“ Zwei eine Primzahl sein!

Der Primzahlenautomat funktioniert jedenfalls perfekt, weil er eben mit der ersten Primzahl Zwei als Anfangsbedingung startet. Und dieser Automat irrt sich niemals!

Als Randnotiz möchte ich hier noch hinzufügen, dass ich mich schwer damit tue, die Null als gerade, also als „zweirade“ zu akzeptieren. Denn die Null wäre dann ebenso „dreirade“, „vierrade“, „fünfrade“, usw. Und sie wäre sogar auch „einsrade“, was immer dies bedeuten mag. Eine Definition per se mag für die Konstruktion einer bestimmten, eigenwilligen Mathematik vielleicht bisweilen hilfreich sein. Aber als Nichtmathematiker frage ich mich, warum die Mathematiker sich manchmal einem Definitionszwang unterwerfen, ein andermal aber auch nicht. Besonders krass verhält es sich bei der Zahl Null. Eine Division durch Null ist für Mathematiker unbestimmt, aber gerade, also genau „zweirade“, ist die Null allemal?

Aber was soll´s? Das macht alles gar nichts! Es kommt sowieso immer wieder alles anders. Und mit der Einführung der hyperreellen Zahlen wird auch die Hyper-Null eine völlig andere Null sein.



                                            

5 Das Konzept der Prim-Oszillatoren

Der Primzahlenautomat in dem Film „Die Türme von Prim“ basiert auf dem Konzept von zusammengeschalteten (kaskadierten) Oszillatoren. Und da es sich bei den Periodenlängen aller dort verwendeten Oszillatoren um natürliche Zahlen – die zudem auch noch ausschließlich Primzahlen sind – handelt, habe ich den Begriff Prim-Oszillatoren-Konzept eingeführt.

Das Konzept der Prim-Oszillatoren ermöglicht eine völlig neue Betrachtungsweise der Primzahlen sowie der makroskopischen Architektur der Primzahlenfolge an sich. Die Leistungsfähigkeit dieses Konzepts wird in den folgenden Beiträgen schrittweise erläutert und schließlich an einem konkreten Beispiel verdeutlicht.

In dem konkreten Beispiel wird der Primzahlsatz Schritt für Schritt entzaubert, indem er für jeden leicht verständlich hergeleitet wird. Wie kommen die makroskopischen Eigenschaften der Primzahlenfolge eigentlich zustande? Gelten diese Gesetzmäßigkeiten nur für die Primzahlenfolge oder haben sie eine allgemeine Gültigkeit, die für eine bestimmte Architektur verschiedenster mathematischer Folgen generell zutreffen?

Am Ende unserer Reise werden wir eine vermutlich völlig neue Sichtweise auf den Primzahlensatz erworben haben. Dessen Beweis wird auf ein sehr niedriges mathematisches Niveau abgesenkt werden. Es wird gezeigt, dass sich die Primzahlenfolge – abgesehen von einigen Besonderheiten – universell geltenden Regeln fügt und von daher gar nicht mal so besonders ist. In diesem Kontext wird auch deutlich, dass das Oszillatorenkonzept noch wesentlich mehr leisten kann, indem es immer weiter verallgemeinert und an bestimmte Fragestellungen adaptiert wird.

Um dies zumindest anzudeuten, wird das Konzept der Prim-Oszillatoren generalisiert. Zunächst wird das Konzept durch allgemeine Oszillatoren, die nicht mehr nur Prim-Oszillatoren sondern beliebige ganzzahlige Oszillatoren umfassen, erweitert. Anschließend werden die Oszillatoren durch Zufallsgeneratoren ersetzt, ohne jedoch die Architektur der Folgen maßgeblich zu verändern.

In einer weiteren Verallgemeinerung folgt die Überleitung zu nahezu beliebigen, willkürlich konstruierbaren Folgen, die aber dennoch in ihren grundlegenden Eigenschaften der Primzahlenfolge sehr ähnlich bleiben. Wir erhalten damit gewissermaßen einen Werkzeugkasten mit passend adaptierbaren Werkzeugen für diverse Fragestellungen und Probleme, z. B. zur Erklärung asymptotischer Äquivalenzen bestimmter Folgen.

Die letzte Verallgemeinerung führt zu Folgen, deren Folgenglieder nicht mehr ganzzahlig sondern reell sind. Anhand dieser Folgen werden einige ausgewählte Eigenschaften sämtlicher zuvor betrachteter Folgen anschaulich hergeleitet und erklärt. Insbesondere der mathematische Ursprung des Primzahlensatzes wird damit sehr gut verständlich veranschaulicht. Und gewissermaßen zur Übung  werde ich als weiteres Beispiel einen bekannten asymptotischen Zusammenhang für die Summe der Primzahlen erklären.

Nach der Untersuchung der hier interessierenden Zusammenhänge anhand der Folgen mit reellen Folgengliedern wird die zuvor durchlaufene Verallgemeinerungskette erneut, jetzt aber in entgegengesetzter Richtung, durchlaufen. Es findet also eine Spezialisierung in Richtung Primzahlenfolge statt. Dabei wird in jedem Schritt geprüft, ob die zuvor erarbeiteten Ergebnisse weiterhin Bestand haben.

Am Ende dieser etwas längeren mathematischen Reise, die ich in mehreren separaten Beiträgen hoffentlich gut nachvollziehbar strukturiert habe, wird abschließend zu beurteilen sein, ob das Konzept der Prim-Oszillatoren, welches die Grundlage für den Film „Die Türme von Prim“ darstellt, für die Primzahlentheorie von Bedeutung sein könnte oder aber auch nicht. Hier werde ich mich mehr oder weniger stummschalten und hoffe auf ein ausgiebiges Feedback all derjenigen Leser, die ich zum Durcharbeiten dieses Themas – warum auch immer – motivieren konnte.

An dieser Stelle möchte ich noch einmal grundsätzlich klarstellen, dass ich kein Mathematiker bin. „Die Türme von Prim“ und alles, was damit zusammenhängt, ist pure Ironie des Schicksals, wie viele andere Dinge in meinem Leben auch! Es kann bestenfalls sein, dass ich mich noch allmählich zu einem Hobby-Mathematiker entwickeln werde, da ich gerade merke, wie sich eine gewisse Affinität hin zur Mathematik in mir breit macht. Mehr habe ich aber derzeit tatsächlich nicht vor, was dieses Thema hier anbelangt. Ich brauche weder Zeugnis noch Note, freue mich jedoch über jedwedes ehrlich gemeintes Feedback!

Mit diesem klaren Hinweis möchte ich den Mathematikern verständlich machen, dass ich mir selbst sehr wohl bewusst bin über die Lücken und Eigenwilligkeiten in meinen Ausführungen. Streng mathematische Beweise kann ich nicht beibringen. Dies muss ich den Mathematikprofis überlassen, sofern ich deren Interesse für dieses Thema überhaupt wecken kann und falls es da tatsächlich etwas gibt, das bewiesen werden sollte.

Mir selbst fällt derzeit spontan kein wirklicher unmittelbarer Nutzen aus all diesen Betrachtungen für Mathematik, Wissenschaft, Forschung oder Technik ein, was aber nicht bedeuten muss, dass es ihn nicht gibt. Leider muss ich aber auch gestehen, dass ich nicht einmal genau weiß, wie viel von all dem hier überhaupt neu ist. Meine bisherigen Recherchen haben mich möglicherweise noch nicht auf die richtige Spur gebracht. Auch für diesbezügliche Leserhinweise wäre ich daher sehr dankbar!

Was meine Leser der Webseite UnWissenschaft.de anbelangt, hoffe ich, dass meine weiteren Ausführungen sich auf einem passenden semi-wissenschaftlichen Niveau bewegen, so dass sie den beabsichtigten Unterhaltungswert entfalten, um den es mir hauptsächlich geht.



                                            

6 Einfache Prim-Oszillatoren

Warum in dem Primzahlenautomat die 1 nicht als erster Prim-Oszillator mit der Periode 1 verwendet werden darf, habe ich weiter oben schon begründet. Hier noch eine etwas andere Sichtweise. Für jede natürliche Zahl N liefert der Rest ihrer Division durch 1 stets 0 (N modulo 1 = 0). Die Zahl 1 kann deshalb keinen Oszillator bilden, denn es ergibt sich ja gar keine Periode.

Gemäß dem Konzept der „Türme von Prim“ kann die Zahl 1 auch schon deshalb nicht als Primzahl gelten, weil sie das Hervorbringen der gesamten Primzahlenfolge verhindern würde. Denn das Kriterium für das Auffinden der nächsten Primzahl gemäß Regel 4 ist ja, dass kein Prim-Oszillator einen Null-Durchgang haben darf („alle Turm-Aufbauplätze und Turm-Abbauplätze sind nicht leer“). Das ist mit nur einem Turmstein aber unmöglich, denn der Turmstein kann sich nicht gleichzeitig auf zwei Plätzen (Turm-Abbauplatz und Turm-Aufbauplatz) befinden.

Bild 6.1: Mit P1 = 1 wäre kein Oszillator möglich


Die Division einer natürlichen Zahl N durch 2 liefert entweder den Rest 0 (für N gerade) oder den Rest 1 (für N ungerade). Für die Folge der natürlichen Zahlen N ergibt die Division durch 2 also eine periodische Folge für den Rest dieser Division. Die Periodenlänge ist 2 und die Folgenglieder der Folge sind 1, 0, 1, 0, usw. Im Bild links sind aufeinanderfolgende Perioden abwechselnd in gelb und orange dargestellt.

Mit der ersten Primzahl P1 = 2 erhält man also den ersten Prim-Oszillator O1 mit der Periode 2.

Nachfolgend werden Primzahlen und Prim-Oszillatoren je nach Bedarf mit einem oder mit zwei Indizes geschrieben. Der erste Index ist die fortlaufende Nummer der Primzahl bzw. des Oszillators, der zweite Index gibt den Wert bzw. die Periode an. Für P1 bzw. O1 wäre die ausführliche Schreibweise also P1,2 bzw. O1,2.

Bild 6.2: Oszillator O1,2 mit P1 = 2 hat die Periodenlänge 2


Statistisch betrachtet ist die Wahrscheinlichkeit für einen Nulldurchgang des Oszillators O1,2 (also für das Blockieren der nächsten Primzahl durch diesen Oszillator) p = 1/2. Die Wahrscheinlichkeit für eine Freigabe der nächsten Primzahl durch diesen Oszillator beträgt ebenfalls p = 1/2.

Für die zweite Primzahl P2,3 bzw. den zweiten Prim-Oszillator O2,3 ist die Wahrscheinlichkeit für eine Freigabe der nächsten Primzahl durch diesen Oszillator p2 = 2/3. Entsprechend erhält man für P3,5 bzw. O3,5 die Freigabewahrscheinlichkeit p3 = 4/5 und für P4,7 bzw. O4,7 die Freigabewahrscheinlichkeit p4 = 6/7.

Allgemein ist für alle Primzahlen Pi,n bzw. für alle Prim-Oszillatoren Oi,n die Freigabewahrscheinlichkeit pi,n = (n − 1) / n. Sie wird für wachsende n also immer größer und strebt für n → ∞ gegen 1. Aus dieser Tatsache ist schon ersichtlich, dass vor allem die ersten Primzahlen maßgeblich die Erzeugung aller weiteren Primzahlen beeinflussen.

Bild 6.3: Oszillator O2,3 mit P2 = 3 hat die Periodenlänge 3


Die Primzahlenfolge erinnert sich gewissermaßen an ihre ersten Folgenglieder am besten, und zwar bis ins Unendliche.

Der Kehrwert 1/p der Freigabewahrscheinlichkeit kann als eine erwartete Distanz D (ein Delta oder eine Entfernung auf der Zahlengeraden) zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen angesehen werden, die von dem betreffenden Oszillator freigeschaltet werden. Diese abstrakte, rein statistische Größe ist im Allgemeinen kein ganzzahliger Wert.

        Für O1,2 ist D1,2 = 2/1,
        für O2,3 ist D2,3 = 3/2,
        für O3,5 ist D3,5 = 5/4 und
        für O4,7 ist D4,7 = 7/6.

Allgemein ist für alle Primzahlen Pi,n bzw. für alle Prim-Oszillatoren Oi,n die Distanz Di,n = n / (n − 1). Sie wird für wachsende n also immer kleiner und strebt für n → ∞ gegen 1.

Bild 6.4: Oszillator O3,5 mit P3 = 5 hat die Periodenlänge 5


Die Distanz D wird hier eingeführt, weil sie später noch eine wichtige Rolle spielen wird.

Mit den Wahrscheinlichkeiten pi,n und den Distanzen Di,n für die einzelnen Oszillatoren lässt sich erstmal nicht viel anfangen. Kombiniert man jedoch zwei oder mehrere Oszillatoren zu Oszillatorkaskaden, dann lassen sich die Eigenschaften der Oszillatorkaskaden mit diesen Kennwerten recht gut charakterisieren.

Bild 6.5: Oszillator O4,7 mit P4 = 7 hat die Periodenlänge 7



                                            

7 Kaskadierung der Prim-Oszillatoren

Mehrere Prim-Oszillatoren können miteinander kombiniert (zusammengeschaltet) werden. Die dadurch entstehenden Oszillatorkaskaden bilden dann neue Oszillatoren mit längeren Perioden. Mehrere Prim-Oszillatoren und Oszillatorkaskaden können wiederum zu noch komplexeren Oszillatorensystemen kombiniert werden.

Sämtliche Prim-Oszillatoren sind paarweise unabhängig, da ihre Periodenlängen keine gemeinsamen Teiler haben. Eine Kopplung beliebiger Prim-Oszillatoren Oi,m und Oj,n mit den Periodenlängen m und n erzeugen daher immer kombinierte Oszillatoren mit den Periodenlängen m ⋅ n.

Eine Oszillatorkaskade unterdrückt die Erzeugung neuer Primzahlen, wenn mindestens einer ihrer einfachen Prim-Oszillatoren einen Nulldurchgang hat. Anderenfalls wird die Erzeugung neuer Primzahlen freigeschaltet (On = √ ). Die Freischaltung bezieht sich allerdings stets nur auf die gerade betrachtete Oszillatorkaskade. Neue Primzahlen können tatsächlich nur dann auftreten, wenn auch alle weiteren Prim-Oszillatoren bzw. Oszillatorkaskaden des gesamten Oszillatorensystems die Erzeugung neuer Primzahlen freischalten.

Die erste einfache Oszillatorkaskade erhält man, indem die beiden ersten Prim-Oszillatoren O1,2 und O2,3 miteinander kombiniert werden. Die resultierende Periodenlänge des zusammengesetzten Oszillators ist dann das Produkt der beiden Periodenlängen der einfachen Oszillatoren, hier also 2 ⋅ 3 = 6. Dies ist ja immer der Fall, wenn die Oszillatorenperioden (wie hier) teilerfremd sind.

Die Wahrscheinlichkeit für die Freischaltung einer natürlichen Zahl als Primzahl ist jetzt bei dem kombinierten Oszillator das Produkt der beiden Wahrscheinlichkeiten p1,2 und p2,3, also p = (1/2) ⋅ (2/3) = 1/3.

Von den 2 ⋅ 3 = 6 möglichen Zahlenkombinationen erlauben p ⋅ 6 = (1/3) ⋅ 6 = 2 Kombinationen die Erzeugung neuer Primzahlen (Positionen mit On = √ ), die übrigen vier Kombinationen verhindern neue Primzahlen. Nach dem Auffinden der Primzahl 3 (im Film erfolgt dies in der Runde N = 3) und somit der Entstehung dieser ersten Oszillatorkaskade ist die nächste passende Zahlenkombination bei N = 5, weshalb auch die 5 als nächste Primzahl gefunden wird.

Bild 7.1: Oszillatorkaskade mit O1,2 und O2,3 hat die Periodenlänge 6


Die Distanz D der Oszillatorkaskade ist auch hier wieder der Kehrwert von p, was gleichbedeutend ist mit dem Produkt der Einzeldistanzen D1,2 und D2,3, also D = (2/1) ⋅ (3/2) = 3. Und auch hier stellt die Distanz D einen statistischen mittleren Abstand für die Freigabe einer nächsten Primzahl durch diese Oszillatorkaskade dar.

Die Kombination der Prim-Oszillatoren O1,2 und O4,7 ergibt eine Periodenlänge von 2 ⋅ 7 = 14. Die Wahrscheinlichkeit für die Freischaltung einer natürlichen Zahl als Primzahl ist bei diesem kombinierten Oszillator das Produkt der beiden Wahrscheinlichkeiten p1,2 und p4,7, also p = (1/2) ⋅ (6/7) = 3/7.

Von den 14 möglichen Zahlenkombinationen erlauben p ⋅ 14 = (3/7) ⋅ 14 = 6 Kombinationen die Erzeugung neuer Primzahlen (Positionen mit On = √ ), die übrigen acht Kombinationen verhindern neue Primzahlen. Die Distanz D der Oszillatorkaskade ist das Produkt der Einzeldistanzen D1,2 und D4,7, also D = (2/1) ⋅ (7/6) = 7/3.

Für die Kombination der Prim-Oszillatoren O2,3 und O3,5 kann der Leser selbst entsprechende Überlegungen anstellen, falls er es möchte.

Es ist ja offensichtlich, dass beliebige Prim-Oszillatoren zu Oszillatorkaskaden gruppiert werden können. Für das Konzept der „Türme von Prim“ hat dies aber keine wirkliche Bedeutung. Ich gehe hier nur deshalb darauf ein, weil die Auswirkungen dieser Oszillatorkaskaden sich in der Primzahlenmystik widerspiegeln.

Wie schon erwähnt, erinnert sich die Primzahlenfolge an ihre ersten Prim-Oszillatoren am besten, und zwar bis ins Unendliche. Dies gilt ebenso für die ersten und somit bedeutendsten Oszillatorkaskaden. Sie strahlen ihre Wirkung innerhalb der Primzahlenfolge bis ins Unendliche aus. Ihre Primzahlen verhindernde bzw. Primzahlen freischaltende Wirkung bleibt fortwährend bestehen.

Bild 7.2: Oszillatorkaskade mit O1,2 und O4,7 hat die Periodenlänge 14


Es ist leicht nachvollziehbar, dass sich dieser Wirkungsmechanismus entscheidend auf die Anordnung der Primzahlen und auch der Primzahlenlücken auf der Zahlengeraden auswirken muss. Die sich zwangsweise herausbildenden Strukturen lassen sich dann auch in geeigneten Darstellungsmodellen beeindruckend visualisieren.

Unzählige Tüftler haben fantastische Primzahlen-Sonnen, Primzahlen-Schnecken, Primzahlen-Spiralen usw. ersonnen und sich über die Bedeutung der gefundenen Gesetzmäßigkeiten den Kopf zerbrochen. Jetzt können sich diese Tüftler erneut an die Arbeit machen, um herauszufinden, auf welchen konkreten Oszillatorkaskaden die Architekturen ihrer jeweiligen Modelle basieren.

Ich bin allerdings der Ansicht, dass derartige Modelle der Vergangenheit angehören werden, sobald das Oszillatorenkonzept gemäß den „Türmen von Prim“ von der mathematischen Gemeinde allgemein verinnerlicht sein wird. Denn vermutlich existieren alle diese Modelle einzig und allein aufgrund des Fehlens eines anschaulichen Konzepts, wie beispielsweise des hier vorgestellten Oszillatorenkonzepts.

Bild 7.3: Oszillatorkaskade mit O2,3 und O3,5 hat die Periodenlänge 15



                                            

8 Superoszillatorkaskaden und Superoszillatoren

Als Superoszillatorkaskaden sollen hier diejenigen Oszillatorkaskaden verstanden werden, die sämtliche Prim-Oszillatoren Oi bis zu einem maximalen Prim-Oszillator Ok beinhalten. Für k = 3 wären dies also die Prim-Oszillatoren O1,2, O2,3 und O3,5. Für diese besonderen Oszillatorkaskaden wird hier abgekürzt das Synonym Superoszillatoren verwendet.

Da alle Periodenlängen sämtlicher hier einfließender Prim-Oszillatoren prim und somit teilerfremd sind, ergibt sich als Periodenlänge des so entstehenden Superoszillators das Produkt der entsprechenden Primzahlen. Für k = 3 ist dies P1 ⋅ P2 ⋅ P3 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30.
Die Periodenlängen der Superoszillatoren nehmen mit wachsendem k wesentlich schneller zu als k!. Das ist irrsinnig schnell.

Der Primzahlenautomat gemäß den „Türmen von Prim“ erweitert sich ständig in der Weise, dass er die gesamte Kette aufeinanderfolgender Superoszillatorkaskaden vollständig durchläuft. Natürlich dauert es wesentlich kürzer als die Periodenlänge des jeweiligen Superoszillators, bis die nächste Primzahl erscheint – sonst gäbe es nur sehr wenige Primzahlen. Trotzdem kann man sich anhand der kompletten Durchläufe der Superoszillatoren direkt und sehr anschaulich klarmachen, dass es unendlich viele Primzahlen geben muss. Denn jeder Superoszillator beendet seine lange Periode mit Nulldurchgängen sämtlicher einfachen Prim-Oszillatoren, aus denen er gebildet wird (siehe N = 30 links im Bild). Das muss so sein, denn die erste und alle folgenden Perioden beginnen mit lauter Einsen (siehe N = 1 und N = 31). Dies bedeutet aber wiederum, dass sämtliche Prim-Oszillatoren eine Runde vor der Nullen-Runde ebenso ungleich null gewesen sein müssen (siehe N = 29), was gemäß Regel 4 im Film das Auffinden einer nächsten Primzahl bedeuten würde.

Von dieser letzten, sehr späten Option auf eine nächste Primzahl wird der Primzahlenautomat mit Gewissheit niemals Gebrauch machen. Aber die anschauliche Bedeutung dieser Betrachtung bleibt dennoch bestehen: Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Wesentlich spannender als diese sehr eingängliche Antwort auf die Frage nach der unendlichen Anzahl Primzahlen ist eine andere Information, die uns die Superoszillatoren bereitwillig preisgeben. Wie wir erkannt haben, startet jede Periode mit lauter Einsen und endet mit lauter Nullen, weshalb auch davor alle Werte ungleich null gewesen sein müssen (siehe Positionen N = 29 bis N = 31 im Bild links).

Bild 8.1: Superoszillatorkaskade mit O1,2 bis O3,5 hat die Periodenlänge 30


Das bedeutet, dass jeder aufgrund einer neu ermittelten Primzahl erweiterte Superoszillator die neue Veranlagung für mindestens einen Primzahlzwilling mit sich bringt. Damit ist recht anschaulich belegt, dass mit jeder ermittelten Primzahl zumindest eine weitere letzte Option für Primzahlzwillinge gebildet wird. Das bedeutet, dass die Chancen auf Primzahlzwillinge bis ins Unendliche niemals versiegen können.

Dies bedeutet aber wiederum keineswegs, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge geben muss. Denn bevor die irrsinnig lange Periode der Superoszillatorkaskade einmal komplett durchlaufen wird, entstehen sehr viele neue Prim-Oszillatoren mit erheblich kürzeren Periodenlängen, deren Nulldurchgänge ja sämtliche Chancen auf Primzahlzwillinge auslöschen könnten.

Allerdings liefert ein Superoszillator nicht nur diese eine letzte Option für einen Primzahlzwilling sondern zahlreiche weitere Chancen. Vielleicht sollten wir uns daher besser erstmal die Statistik der Superoszillatoren im nächsten Abschnitt genauer anschauen.

Zuvor möchte ich aber – schon allein der Ästhetik wegen – auf die wunderschönen Symmetrien sämtlicher kombinierter Oszillatorsysteme hinweisen.

Schreibt man alle Folgen der Prim-Oszillatoren (z. B. für O3,5: 0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,0, ...) so um, dass die Folgenglieder symmetrisch erscheinen (hier also 0,1,2,3,4,0,4,3,2,1,0, ...), dann erkennt man die perfekten Symmetrien hinsichtlich der Nulldurchgänge und der Nicht-Nulldurchgänge (siehe Abbildung links) innerhalb der Oszillatorensysteme. Eine subtile Ähnlichkeit zu dem aus der Automatisierungstechnik bekannten Gray-Code drängt sich förmlich auf.

Auch diese ineinander verwobenen Symmetrien spiegeln sich in den geheimnisvollen Konstruktionen wie Primzahl-Sonnen und Primzahl-Spiralen wieder. Sie sind für die dort gefundenen Gesetzmäßigkeiten ursächlich mit verantwortlich.

Bild 8.2: Darstellung der Symmetrie der Superoszillatorkaskade mit O1,2 bis O3,5



                                            

9 Wichtige Kennwerte der Superoszillatoren

Für jeden neu entstandenen Superoszillator lässt sich rein formal eine Wahrscheinlichkeit pk(Pk) angeben, mit der der Superoszillator mit der nächsten natürlichen Zahl die nächste Primzahl Pk+1 freischaltet. Für einen Superoszillator, der aus den ersten k Prim-Oszillatoren – entsprechend den Primzahlen P1 bis Pk – gebildet wird, ist diese Wahrscheinlichkeit:

(9.1)

Oder kompakter aufgeschrieben:

(9.2)

Mit k = 3 erhält man pk = (1/2)⋅(2/3)⋅(4/5) = 8/30, also 8 Freischaltungen bei insgesamt 30 Zahlenkombinationen (siehe Positionen mit ON = √ im letzten Bild von Abschnitt 8).

Eine entsprechende Formel lässt sich auch für die Wahrscheinlichkeit pk,Z(Pk) angeben, mit der der Superoszillator zwei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen als Primzahlenanwärter freischaltet. Dies ist mithin die Wahrscheinlichkeit für Primzahlzwillinge. In die Formel geht die erste Primzahl 2 mit dem Wert 1/2 ein. Dieser Faktor siebt die geraden Zahlen aus. Für alle weiteren Prim-Oszillatoren muss gelten, dass im Abstand von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen kein Oszillator-Nulldurchgang erfolgt. Mit diesen Überlegungen erhalten wir für die Primzahlzwillinge-Wahrscheinlichkeit pk,Z die Formel:

(9.3)
(9.4)

Mit k = 3 erhält man pk,Z = (1/2)⋅(1/3)⋅(3/5) = 3/30, also 3 Freischaltungen für Primzahlzwillinge bei insgesamt 30 Zahlenkombinationen (siehe Positionen 11 und 13, 17 und 19 sowie 29 und 31 mit aufeinanderfolgenden ON = √ im letzten Bild von Abschnitt 8).

Noch ein Beispiel:

Bis zur Primzahl P7 baut sich ein Superoszillator mit 2⋅3⋅5⋅7⋅11⋅13⋅17 = 510510 Zahlenkombinationen (= Periodenlänge) auf. Dieser Oszillator liefert eine Chance von (1/2)⋅(1/3)⋅(3/5)⋅(5/7)⋅(9/11)⋅(11/13)⋅(15/17) = 22275/510510 auf Primzahlzwillinge. Etwa 4,36 % aller Zahlenkombinationen starten also die Freischaltung eines Primzahlzwillings.

Es lassen sich für diverse weitere Fragestellungen analoge Formeln angeben. Aber leider geben die hier formal ermittelten Wahrscheinlichkeiten die Realität nur unzureichend wieder, weil die Oszillatoren nicht wie Zufallsgeneratoren arbeiten. Sie unterliegen stattdessen einer starren Kopplung, die sich besonders in den ersten periodischen Durchläufen stark bemerkbar macht. Erst nach vielen Oszillatordurchläufen stellt sich ein qualitativ akzeptabler Pseudo-Zufall ein. Im ersten Durchlauf hingegen dominiert der Effekt der starren Kopplung. Die zuletzt hinzugekommenen Prim-Oszillatoren brauchen lange bis zu ihrem ersten Nulldurchgang und fallen daher erstmal aus den Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen heraus. Dieser Effekt, den ich gern als Honig-Effekt bezeichne, hat zur Folge, dass stets mehr Primzahlen und Primzahlzwillinge auftreten müssen als mit den obigen Gleichungen berechnet werden.

Die Kehrwerte der Wahrscheinlichkeiten sind wiederum erwartete mittlere Distanzen (Deltas, Entfernungen auf der Zahlengeraden) bis zur nächsten Primzahl bzw. bis zum nächsten Primzahlzwilling. Diese berechneten Distanzen sind rationale Zahlen. Mit den obigen Gleichungen erhalten wir die Distanz Dk(Pk) bis zur nächsten Primzahl Pk+1:

(9.5)
(9.6)

Und die Distanz Dk,Z(Pk) bis zum nächsten Primzahlzwilling:

(9.7)
(9.8)

Die hier besprochenen Kennwerte der Superoszillatoren scheinen momentan nicht von besonderer Bedeutung zu sein. Deren Bedeutung wird sich jedoch später noch offenbaren, wenn es darum gehen wird, den Primzahlensatz anschaulich herzuleiten und vergleichsweise einfach zu beweisen. Den Beweis werde ich aber dennoch nur skizzieren und ansonsten den Mathematikprofis überlassen müssen, da es einige Lücken gibt, die ich selber nicht schließen kann.


Weiter geht es hier: Primzahlenfolgeähnliche Folgen



                                            


Erstellung dieser Seite am 22.09.2017
Letzte Aktualisierung dieser Seite am 01.01.2018
Autor: Heinrich Bednarek


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