Hauptseite

Impressum

Motivation

Themen

~~~~~~~~~~

Die
Primzahlen-
Anekdote


Die Türme
von Prim


Primzahlen-
folgeähnliche
Folgen


Die
Entzauberung
der Prim-
zahlenfolge


Glossar

Videos

Downloads

~~~~~~~~~~





Lese-
Zeichen
1







2







3







4







5







6







7







8







9







10







11







12







13







14







15







16







17

  UnWissenschaft.de
| Hauptseite | Impressum | Motivation | Themen |   

 

Die Primzahlen-Anekdote


Alter Mensch:
„Ich brauche das alles nicht mehr.
Ich will es nur noch haben!“




                                            

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung
2 Die dritte Zündung
3 Meine Berufung: „Die Türme von Prim“
4 Ungeahnte Folgen des Grübelns


                                            

1 Einleitung

Freunde und Kollegen fragten mich immer wieder mal, ob ich nicht einige der Themen, über die ich mich mit ihnen manchmal stundenlang unterhalte, auf der für meinen Ruhestand reservierten Webseite UnWissenschaft.de vorab aufschreiben könnte. Schließlich steigt das Renteneinstiegsalter derzeit schneller als die Zeit vergeht. Schon aus diesem Grund ist es absolut ungewiss, ob man überhaupt noch in den Genuss eines Lebensabends kommt. Meine Webseite würde also möglicherweise für immer leer bleiben, wenn ich nicht jetzt schon etwas aufschreibe.

Tatsächlich ist es so, dass ich mich selbst total geirrt habe, was Wirtschaft und Technik auf der einen Seite und die Lebensarbeitszeit der Menschen auf der anderen Seite anbelangt. Als junger Forscher im Bereich der Robotik war ich voller Zuversicht, dass die Maschinen es den Menschen ermöglichen sollten, schon früher – vielleicht mit 50 – in den Ruhestand zu gehen.

Mittlerweile dürften die Produkte, die ich als Hardware-Entwickler auf dem Gebiet der Antriebstechnik und Robotik verantworte, die dreistellige Millionensumme überschritten haben. Aber was habe ich da eigentlich getan? Anstatt weniger Arbeit und Stress und einen früheren Ruhestand für alle Menschen hat uns unsere hochtechnisierte Zivilisation genau das Gegenteil davon beschert.

Offensichtlich sind wir in gewisser Hinsicht alle betrogen worden. Denn wir haben die Rechnung ohne die fatale Unersättlichkeit und Gier des Kapitals gemacht. Die technologischen Errungenschaften werden heute überwiegend dafür verwendet, einen globalen Durchlauferhitzer zu betreiben, der unter horrendem Energieaufwand Material aus Bergwerken auf Müllhalden transportiert.

Also werde ich jetzt schon ein erstes Themenbeispiel veröffentlichen. Ich habe mich für ein Thema aus der Mathematik entschieden, welches mich als Nichtmathematiker mehrere Male in meinem Leben unfreiwillig beschäftigte: „Die Primzahlen-Anekdote“.



                                            

2 Die dritte Zündung

Seit meiner Schulzeit geschah es immer wieder mal, dass sich mir Gedanken über Primzahlen hartnäckig aufdrängten. Ich war an Mathematik eigentlich überhaupt nicht interessiert. Und an Primzahlen schon gar nicht. Aber eine Aussage meines Lehrers über Primzahlen scheint sich in mein Unterbewusstsein eingebrannt zu haben. Er sagte, dass niemand weiß, nach welcher Gesetzmäßigkeit die Primzahlenfolge entsteht.

Wieso das denn? Ich wusste es doch! Ich malte mir die Entstehung der Primzahlenfolge mit Hilfe von Zahnrädern oder Klötzchenstapeln aus und war der Ansicht, der Lehrer wüsste es halt nicht so genau. Oder mir war nicht ganz klar, was er konkret damit meinte. Egal, ich habe das Thema dann erst mal für lange Zeit vergessen.

Während meines Studiums gab es einen ersten Rückfall in die Grübeleien über Primzahlen. Auslöser waren diesmal Die Türme von Hanoi, die ein Professor in der Informatikvorlesung abhandelte. In meinem Bewusstsein tauchten sofort wieder Die Türme von Prim auf. Damals dachte ich sogar daran, ein Brettspiel mit diesem Namen zu entwerfen, das die Herleitung der Primzahlenfolge im schulischen Mathematikunterricht veranschaulichen sollte. Das Brettspiel sollte es ermöglichen, die ersten zehn Primzahlen zu ermitteln, ohne zu rechnen. Allerdings kam diese Idee während des Studiums gewissermaßen zur Unzeit. Ich verdrängte diese Gedanken daher systematisch.

Dann bekam ich sehr viel später, im Jahr 2014, einen jähen Rückfall in die Primzahlen-Grübelei. Dieses Mal ganz stark! Und das kam so: Manchmal schaue ich mir populärwissenschaftliche Fernsehsendungen zu Themen an, die mich im Grunde kaum interessieren. Nur zur Entspannung. So schaute ich mir in meinem Sommerurlaub Ende Juli 2014 eine Dokumentation über die Riemannsche Vermutung an. „Die Code-Knacker“ hieß der Film. Dort ging es unter anderem um Primzahlen sowie um die Gesetzmäßigkeit der Entstehung der Primzahlenfolge.

Eine Bemerkung in dieser Sendung ließ bei mir die Alarmglocken läuten. Es wurde doch tatsächlich immer noch behauptet, die Gesetzmäßigkeit, nach der Primzahlen entstehen, sei bis heute letztendlich unbekannt. Aber das konnte doch gar nicht sein! Bereits in meiner Schulzeit hatte ich die Gesetzmäßigkeit, anhand der die Primzahlenfolge hergeleitet wird, durchdacht. Seitdem hatte ich diese Gesetzmäßigkeit stets im Sinn und ganz klar vor Augen! Es gibt nur diese einzige Erzeugungsvorschrift für Primzahlen, aber sie existiert und sie ist äußerst simpel! Warum Sollte sie also nicht allgemein bekannt sein? Diese Frage war für mich die dritte Zündung meiner unbeabsichtigten Grübelei über Primzahlen.

Der verehrte Leser sollte mir jetzt nicht vorschnell unterstellen, ich sei ein Mathematikspötter oder ich hätte keinen Respekt vor Mathematikern und der Mathematikwissenschaft an sich. Natürlich habe ich sofort daran gedacht, dass es sich um ein Missverständnis handeln müsste. Trotzdem habe ich den Rest der Dokumentarsendung nur noch ganz vage wahrgenommen. Stattdessen habe ich intensiv darüber nachgedacht, wie ich das Erzeugungsgesetz für die Primzahlenfolge mit einem einfachen Automaten, zunächst nur als Software-Modell für den Personalcomputer programmiert, überprüfen könnte. Am Ende der Sendung war ich schließlich so weit, ich hatte den Entwurf des Automaten in der Computersprache C bereits im Sinn. Ich bin sogleich an meinen Computer gegangen und habe die wenigen Programmzeilen rasch eingegeben.

Der simple Automat wurde so programmiert, dass er strenggenommen nicht rechnen kann. Er kann nur Variablen mit Null vorbesetzen, inkrementieren (also um 1 hochzählen) und auf Gleichheit prüfen. Die Ergebnisse der Vergleichsoperationen steuern weitere einfache Abläufe wie z. B. das Archivieren der gefundenen Zahlen, die ausschließlich Primzahlen sind. Mathematische Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division verwendet der einfache Automat ansonsten überhaupt nicht. Er arbeitet ähnlich stumpf wie ein Mensch (oder Automat), der das Spiel Die Türme von Hanoi beherrscht und ist von vergleichbar geringer Komplexität – abgesehen vom Speicherbedarf, der u. a. zum Abspeichern der gefundenen Primzahlen erheblich größer sein muss.

Nach etwa einer Stunde Optimierung meines Automaten startete ich die Ermittlung der Primzahlen bis N = 1 000 000. Zuvor habe ich mein Programm ertüchtigt, die ermittelten Primzahlen sowie die Anzahl der Primzahlen in eine Datei zu schreiben. Ergebnis nach wenigen Minuten: Unter den natürlichen Zahlen bis 1 000 000 wurden 78498 Primzahlen gefunden. Diverse Stichproben zeigten ausnahmslos, dass die ermittelten Primzahlen mit denen aus den reichlich vorhandenen Tabellenwerken auf diversen Internetseiten übereinstimmten. Aber ich habe auch nichts anderes erwartet!

Eine Folge dieses Experiments war, dass mich dieses Mal die Grübelei über Primzahlen nicht mehr los ließ. Ich war und bin mir stets dessen bewusst, dass ich nichts Besonderes entdeckt oder erfunden habe. Der Mechanismus, welcher der Entstehung der Primzahlenfolge zugrunde liegt, ist den Mathematikern vermutlich längst bewusst. Allerdings hat scheinbar noch niemand den Versuch unternommen, diese Gesetzmäßigkeit anschaulich darzustellen. Aus dem Mathematikunterricht ist mir eine derartige anschauliche Darstellung, wie ich sie schon lange vor Augen habe, jedenfalls nicht bekannt, was ich schade finde.

Letztendlich fühlte ich mich regelrecht dazu berufen, meine Sichtweise über Primzahlen in einem animierten Film für jedermann darzustellen. Also möglichst unwissenschaftlich, damit auch Nichtmathematiker und vor allem Schüler die Entstehung der Primzahlenfolge aus sich selbst heraus leicht nachvollziehen können.


                                            

3 Meine Berufung: „Die Türme von Prim“

Nachdem ich meine unfreiwillige Berufung akzeptiert hatte, machte ich mich an die Arbeit und schrieb das Drehbuch für einen animierten Film. In dem Film sollte gezeigt werden, dass die Gesetzmäßigkeit, nach der sich die Primzahlenfolge gewissermaßen aus sich selbst heraus erzeugt, sich in vier sehr einfache Regeln aufteilen lässt. Vier fiktive Arbeiter, von denen jeder nur eine dieser vier simplen Regeln kennt, sollten gemeinsam die Primzahlen ermitteln, ohne zu rechnen und ohne verstehen zu müssen, was sie da eigentlich tun.

Schnell wurde mir klar, dass der Film eine beachtliche Länge – weit über eine Stunde – beanspruchen würde. Schließlich wollte ich zeigen, dass es neben der klassischen Ermittlungsvorschrift der Primzahlenfolge, die ich am anschaulichsten finde, auch noch eine etwas modifizierte Ermittlungsvorschrift gibt, bei der die vier fiktiven Arbeiter garantiert nur zwischen 0 und 1 unterscheiden können müssen. Oder anders gesagt: sie müssen definitiv nur bis 1 zählen können.

Außerdem packte mich zu meinem Leidwesen – und dem meiner Familie – der Ehrgeiz, auch noch zeigen zu wollen, dass auch die komplette Primfaktorzerlegung von Leuten, die überhaupt nicht rechnen können, sehr einfach bewerkstelligt werden kann.

Ich beschloss daher, den Film in drei Teile aufzuteilen, die etwa innerhalb von ein- bis zwei Jahren nacheinander auf meiner Webseite UnWissenschaft.de oder auf YouTube veröffentlicht werden sollten. Diese Zeit würde ich brauchen, weil ich überhaupt keine Vorkenntnisse zur Erstellung von Animationsfilmen hatte.

Bis Ende 2014 hatte ich die erste Version des ersten der drei Teile meines Animationsfilms fertig. Allerdings fand ich, dass dieser Film zu simpel geraten war und deshalb nicht viel hermachte. Zu langweilig für den trockenen Mathematikunterricht und für das heutige Schülerprofil, meinte ich. Heutzutage benötigen multimediaverwöhnte Schüler schon einen besonderen Kick, um wach und aufnahmebereit zu sein.

Dann kam mir die Idee, einen Experimentalfilm zu produzieren, der absichtlich mit extremer Reizüberflutung arbeiten sollte. In Anspielung auf die Jahrtausende alte Primzahlenforschung, der es nicht gelungen war, die Dinge auf den Punkt zu bringen, sollte der Film beim Betrachter Ähnliches bewirken. Im Vordergrund sollte der Film die eigentliche wertvolle Botschaft übermitteln. Doch das Universum ist grausam und versucht bisweilen in letzter Sekunde, den Erkenntniszugewinn zu vereiteln. Sinngemäß sollte der Film durch die Hintergrundkulisse versuchen, den Betrachter durch massive Ablenkung von der sich anbahnenden Erkenntnis abzubringen. Kurzum, es sollte eine meditative Reise durch das Primzahlenrätsel werden, mit Anspielung auf die Aufbruchsstimmung aus der Flower Power-Zeit, was die künstlerische Gestaltung anbelangt.

Diese Idee mit nicht gerade wenig komplexen Ansprüchen führte zu einem zeitweisen Stillstand meines Filmprojekts. Ich musste mir erst mal eine solide Basis für dieses Vorhaben verschaffen. Außerdem wollte ich den Film gleichzeitig sowohl in Deutsch als auch in Englisch herausbringen. Und natürlich in HD-Qualität (1080p) mit einer 4K-Option (2160p).

Ich verbrachte einige Zeit damit, die Filmerstellung programmgesteuert zu gestalten. Dadurch lässt sich der Film nach Änderungen automatisch komplett neu erstellen. Auch die komplette Neuerstellung des Films in einer anderen Sprache lässt sich nach Austausch der animierten Texte automatisch bewerkstelligen.

Leider hatten alle diese geschaffenen Möglichkeiten auch die Nebenwirkung, dass sich in mir das Verlangen breitmachte, die animierten psychedelischen Hintergrundkulissen in den beiden geplanten Versionen (Deutsch und Englisch) des Films völlig unterschiedlich zu gestalten. Dies wohl in der Hoffnung, dass viele Menschen sich gerne die bizarren Animationen im Filmhintergrund explizit anschauen möchten, weil sie diese kunstvoll und interessant finden.

Zur automatisierten Erstellung des animierten Filmhintergrunds schrieb ich ein Programm, das ich aufgrund einiger Merkmale in Anlehnung an die Verschlüsselungsmaschine Enigma einerseits und an das Kaleidoskop andererseits „Das Enigmaidoskop“ genannt habe. Mit der Programmierung des Enigmaidoskops war ich jedoch zeitweise auf verlorenem Posten. Ich hatte mich damit eindeutig verhoben (bin ja schließlich noch nicht auf Rente), was mein Filmprojekt erneut quasi zum Stillstand brachte. Nach einiger Zeit absoluter Unproduktivität hatte ich schließlich die Idee, mein Programm in Form einer auf dem PC emulierten Datenflussmaschine zu organisieren. Das war der Durchbruch! Ich konnte nun eine gefühlt zehnmal größere Komplexität programmtechnisch beherrschen, obwohl ich eigentlich kein Programmierer bin.

Nachdem ich eine einfache Script-Sprache für die automatische Filmsequenzgenerierung mit dem Enigmaidoskop formuliert hatte, konnte es endlich mit der eigentlichen Erstellung des ersten Teils meines dreiteiligen Films losgehen.

Heraus kam ein 35 Minuten langer Film, der sogar nach etwa dreimaliger Besänftigung immer noch extrem fordernd ist. Aus fraktalen Membranen steigen immer wieder neue mathematische Welten empor, mit bizarren Türmen und Gebirgsketten. Dabei ist die Machart der Landschaften mithilfe mathematischer Berechnungen stets klar erkennbar.

Wem schnell schwindelig wird, der sollte sich den Film nicht anschauen. Zumindest nicht auf einem großflächigen TV-Bildschirm. Oder nur von weit weg. Ich schätze, dass es kaum jemand schaffen wird, sich gleich beim ersten Mal hinreichend gut auf den Vordergrund zu konzentrieren, um die eigentliche Botschaft des Films zu verstehen. Wem dies auch bei weiteren Versuchen nicht gelingen sollte, empfehle ich, sich die Hintergrundkulisse einmal explizit und sehr bewusst anzuschauen. Danach kann er es erneut versuchen, sich auf den Vordergrund zu konzentrieren.

Ich glaube und hoffe, dass dieser Film den Zeitgeist der heutigen Schüler- und Studentengeneration trifft und das Interesse der Schüler und Studenten für Primzahlen im Speziellen sowie für die Mathematik und deren Zahlentheorie im Allgemeinen ein Stück weit wecken wird.

Eine etwas zahmere, weniger kultige und ein wenig gekürzte Version ist derzeit nur auf YouTube verfügbar. Sie enthält weniger Mystik und weniger Redundanz. Die Hintergrundanimationen sind dezenter gestaltet und fehlen in wichtigen Passagen komplett. Diese gekürzte Version sollte für didaktische Zwecke, z. B. für den Schulunterricht, besser geeignet sein.

Falls sich herausstellen sollte, dass ein gewisses Interesse an einer noch kürzeren und zahmeren Version des Films (ohne Reizüberflutung durch die animierte Hintergrundkulisse) besteht, könnte ich einen entsprechenden Film herausgeben. Auch die Hintergrundanimationen für sich allein wären als separater Film denkbar. Oder aber eine Version ohne Computer Art und sonstige Schnörkel, die das Thema in nur wenigen Minuten abhandelt. Lassen Sie es mich wissen, falls Sie solche Wünsche haben!

Der erste Teil des Films „Die Türme von Prim“ erschien in Deutsch und Englisch auf YouTube am 10. September 2017. Die englische Version hat den Titel “The Towers of Prime”. Zu dieser Version erschien am 22. September ein leicht verbessertes Update. Die gekürzten Versionen wurden auf Wunsch einiger Zuschauer erstellt und am 18. November 2017 veröffentlicht.

Wer die Original-Filme in ungekürzter und sehr guter Qualität anschauen möchte, kann die gut 5 GByte großen Dateien (MP4) direkt von UnWissenschaft.de streamen (DSL mit mindestens 25 MBit/s ist erforderlich) oder die Dateien downloaden.

Teil 2 des Films ist für Anfang 2018 geplant.

Teil 3 des Films ist für Mitte 2018 geplant.

Zwischendurch veröffentliche ich einige meiner weiteren Erkenntnisse über Primzahlen. Einen Ausblick darauf gebe ich im nächsten Abschnitt.

Link: Videos anschauen

Link: Videos downloaden


                                            

4 Ungeahnte Folgen des Grübelns

Die Beschäftigung mit den Automaten zur Primzahlen- und Primfaktorenermittlung ohne zu rechnen im Rahmen der Produktion einer unveröffentlichten ersten Version meines Films führte bei mir im Zeitraum vom August 2014 bis Januar 2015 zu einem ausgeprägten Grübelzwang. Denn da ist noch mehr, was ich über Primzahlen weiß. Weil ich aber kein Mathematiker bin, fehlt mir schlichtweg das Handwerkszeug, um mich mathematisch korrekt auszudrücken. Allerdings heißt meine Webseite nicht ohne Grund UnWissenschaft.de. Sie hat ja durchaus teilweise zum Ziel, Sachverhalte fachfremden Laien verständlich darzustellen. Warum sollte ich also als fachfremder Laie der Mathematik meine Erkenntnisse nicht populärwissenschaftlich formulieren und dem Nichtmathematiker anschaulich präsentieren? Möglicherweise kann auch der eine oder andere Mathematiker von meinen Ideen profitieren. Denn manchmal reicht schon ein einfacher Gedanke, um eine (Denk-)Lawine loszutreten.

Es geht mir darum, zu ergründen, was die Primzahlenfolge eigentlich ist. Sie hat zwar eine Besonderheit, die keine andere Folge hat: Sie enthält ausschließlich Primzahlen, und zwar alle. Diese Eigenschaft der Primzahlenfolge ist mir heilig. Aber das ist auch schon alles. Ansonsten sehe ich die Primzahlenfolge als eine spezielle Folge aus unendlich vielen weiteren Folgen, die der Primzahlenfolge in den meisten Eigenschaften sehr ähnlich sind. Ich nenne sie sinngemäß primzahlenfolgeähnliche Folgen. Diese Gruppe der Folgen ist derart vielseitig, dass man sogar Folgen mit vielen vorbestimmten Eigenschaften konstruieren kann, die aber dennoch die wesentlichen Eigenschaften der Primzahlenfolge haben.

Der große Vorteil, den ich darin sehe, dass man sich mit den primzahlenfolgeähnlichen Folgen beschäftigt, ist der, dass man verblüffend viel Neues über die Primzahlenfolge selbst herausfinden kann. Denn man ist nicht mehr allein auf die Untersuchung der einzigen – wenn auch einzigartigen – Primzahlenfolge begrenzt. Vielmehr hat man unendlich viele Beispiele, die dabei helfen können, die Primzahlenfolge besser in das Mathematikuniversum einzuordnen. Dies ist vergleichbar mit der Situation eines Botanikers, der ein Exemplar einer noch unbekannten Pflanze entdeckt hat. Er kann nicht genau sagen, in welchem Entwicklungsstadium sich die Pflanze befindet. Ist es eine Jungpflanze oder ist sie schon ausgewachsen? Sind die Früchte schon reif oder gerade erst angelegt? Ist sie ein- oder zweihäusig? Dann findet der Botaniker eine ganze Wiese mit Pflanzen dieser neuen Gattung, und er kann über lange Zeit viele Exemplare dieser Pflanze studieren. Welch ein Erkenntniszugewinn!

Ich selbst hatte in meinem Grübelzwang schon die Vision, dass man auf diese Weise der Antwort auf viele offene Fragen der (Prim-)Zahlentheorie rasch näher kommt. Leider kenne ich den aktuellen Stand der Forschung nicht, weil mir das mathematische Verständnis dazu schlichtweg fehlt. Ich bin ja nicht einmal ein Hobby-Mathematiker. Die moderne Zahlentheorie scheint mir jedenfalls ziemlich abgehoben zu sein. Sich schnell einen Überblick zu verschaffen ist für Außenstehende unmöglich.

Der Automat aus meinem Film „Die Türme von Prim“ beantwortet jedenfalls recht anschaulich die immer wieder diskutierte Frage, ob die 1 oder die 2 zu den Primzahlen gehören oder nicht:

Die 1 kann keine Primzahl sein, weil sonst aufgrund der Regel 2 (Zurückschieben) immer ein Turm-Aufbauplatz leer wäre und der offenbar gottgegebene Automat (er ist nicht meine Erfindung!) keine weiteren Glieder der Primzahlenfolge produzieren könnte.

Die 2 ist eine Primzahl, weil sie einen Prim-Oszillator mit der Periode 2 liefert, der dafür verantwortlich ist, dass der im Film gezeigte Automat alle weiteren Glieder der Primzahlenfolge korrekt ermittelt.

Meine Vision reicht noch weiter. Die systematische Untersuchung der primzahlenfolgeähnlichen Folgen gibt vermutlich (unter anderem) Hinweise darauf, ob es unendlich viele Primzahlenzwillinge geben muss/kann oder aber nicht. Ich kann dieses Thema als Nichtmathematiker (bzw. als Nicht-Hobbymathematiker) nicht weiter vorantreiben. Aber soweit ich dies andenken kann und falls meine eigenen Überlegungen zu den primzahlenfolgeähnlichen Folgen zutreffen, scheint es wohl so zu sein, dass es diesen Beweis gar nicht geben kann. Ich halte es für wahrscheinlicher, dass stattdessen die Nichtbeweisbarkeit der Frage nach der Anzahl Primzahlzwillinge schon bald bewiesen werden könnte. Dies jedenfalls ist derzeit meine Vermutung!

Und dann ist da noch diese denkwürdige und sehr verwirrende Behauptung (nein, sogar ein Beweis!) von Leonhard Euler, dass die Primzahlen(!) in direktem Zusammenhang mit der Kreiszahl π stehen sollen. Ja, die Primzahlenfolge hat eine Verbindung mit der Kreiszahl π. Definitiv! Aber was hat das mit den Gliedern der Folge an sich zu tun? Die Verbindung scheint mir eher von der Bildungsvorschrift (also von der Architektur) der Primzahlenfolge auszugehen und nicht von ihren Folgengliedern an sich. Nicht das Material macht einen Flugzeugflügel aus, sondern dessen besondere Form! Schließlich steckt in der Verteilung der Primzahlen das Wachstumsgesetz drin, da ist eine Verbindung zur Kreiszahl π ja schon impliziert. Aber wie ist bewiesen worden, dass es ausschließlich an den Folgengliedern und nicht an ihrer makroskopischen Architektur an sich liegt? Wenn ich unendlich viele Folgen gleicher Architektur aber mit jeweils unterschiedlichen Folgengliedern angeben kann und ich erhalte denselben Zusammenhang – liegt dies dann an der Besonderheit der Folgenglieder? Aber vielleicht steckt die Kreiszahl π gleich auf zweierlei Weise in der Primzahlenfolge. Ich werde später auf eine unendliche Menge von derartigen Folgen hinweisen, die nichts mit Primzahlen zu tun haben, der Primzahlenfolge jedoch sehr ähnlich sind – und für die das Produkt über alle Ni2/(Ni2 − 1) gleich π2/6 ist für N → ∞.

Faszinierend ist für mich ferner, dass alle sog. Zufallsgeneratorenfolgen, die eine Teilmenge der primzahlenfolgeähnlichen Folgen bilden, eine gemeinsame Mutterfolge haben. Diese Folge ist auch die Mutterfolge der Primzahlenfolge selbst. Die Mutterfolge besteht aus gebrochenen Zahlen und ist als Mittelwertfolge aller mit Wahrscheinlichkeitsfaktoren gewichteten Zufallsgeneratorenfolgen (inklusive der Primzahlenfolge selbst) definiert. Die Mutterfolge zeichnet sich dadurch aus, dass ihre Zählfunktion πM(N) streng monoton gegen den Grenzwert N/ln(N) steigt. Für alle ihre Kinder (bis auf eines), also alle primzahlenfolgeähnlichen Folgen inklusive der Primzahlenfolge selbst, gilt hingegen, dass π(N) nicht streng monoton steigt.

Leider kenne ich mich auch diesbezüglich in der mathematischen Landschaft zu wenig aus, so dass ich bislang noch nicht herausgefunden habe, wie die Mathematiker diese von mir so genannte Mutterfolge bezeichnen. Allerdings hat mich die Betrachtung der primzahlenfolgeähnlichen Folgen und deren systematische Sortierung immer wieder zum Pascalschen Dreieck geführt, so dass feststehen dürfte, dass die Mutterfolge darauf basiert.

Noch bedeutender als die Mutterfolge der Zufallsgeneratorenfolgen könnte die von mir so genannte Stammmutterfolge ALLER primzahlenfolgeähnlicher Folgen mit inhärentem Regelkreis sein. Diese reelle Folge lässt sich iterativ sehr effizient und exakt berechnen. Ihre Folgenglieder sind reelle Zahlen. Ihre „Zählfunktion“ scheint eine schnell konvergierende asymptotische Funktion für die Primzahlenzählfunktion π(N) zu sein (was noch zu beweisen wäre) und ermöglicht eine systematische „Entzauberung“ der Primzahlenfolge.

In den drei folgenden separaten Beiträgen wird gezeigt, wie durch Experimente mit den in meinem Film vorgestellten Automaten zur Primzahlenermittlung ohne zu rechnen beliebig viele primzahlenfolgeähnliche Folgen erzeugt werden können. Durch zunehmende Verallgemeinerungen wird schließlich die gesamte Bandbreite aller möglichen Folgen dieser Gruppe erschlossen, die sich bis in die Grenzbereiche bewegen, für die gilt:

π(N) = N - 1 (Oberste Folge, die einzige, die streng monoton steigt.)

π(N) = 1 (Unterste Folge, die einzige, die nur ein einziges Folgenglied enthält.)

Die Betrachtung der primzahlenfolgeähnlichen Folgen wird auch erklären, warum bestimmte Spiralanordnungen, Sonnenanordnungen usw. der Primzahlen regelmäßige Strukturen aufweisen. Dabei wird auch klar, dass die ersten Primzahlen und deren Zusammenspiel in kombinierten Oszillatoren bzw. Oszillatorkaskaden dabei eine entscheidende Rolle spielen. Die Primzahlenfolge erinnert sich sogar noch in der Unendlichkeit an ihre ersten Folgenglieder am besten!


Weiter geht es hier: Die Türme von Prim



                                            

Erstellung dieser Seite am 06.09.2017
Letzte Aktualisierung dieser Seite am 01.01.2018
Autor: Heinrich Bednarek


© 2009 − 2019 by Bednarek  •  Bednarek@UnWissenschaft.de  •  Braunschweig