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Primzahlenfolgeähnliche Folgen


Nicht das Material macht einen Flügel,
sondern die besondere Form!




                                            

Empfohlene Vorkenntnisse

•  Die Primzahlen-Anekdote
•  Video „Die Türme von Prim (Teil 1 – Kurzversion)“
•  Die Türme von Prim

•  Glossar (öffnet sich im neuen Tab/Fenster)


Inhaltsverzeichnis

1 Die Primzahlenfolge
2 Oszillatorenfolgen
3 Zufallsgeneratorenfolgen
4 Die Mutterfolge der Zufallsgeneratorenfolgen
5 Das Geheimnis der Primzahlenzählfunktion
6 Konstruierte Folgen mit ganzzahligen Folgengliedern
7 Berechnete Folgen mit reellen Folgengliedern



                                            

1 Die Primzahlenfolge

Die Primzahlenfolge, die gemäß dem Film „Die Türme von Prim“ aus sich selbst heraus entsteht, hat zweifellos besondere Eigenschaften. Von diesen ist mir allerdings nur eine einzige heilig, nämlich die, dass deren Folgenglieder ausschließlich Primzahlen sind, und zwar alle, die es gibt. Ansonsten ist die Primzahlenfolge nur eine von unendlich vielen vergleichbaren Oszillatorenfolgen mit (in der Regel) sehr ähnlichen makroskopischen Eigenschaften.

Um diese Sichtweise in den folgenden Abschnitten nachvollziehbar herausarbeiten zu können, soll hier zunächst eine kleine Auswahl von Eigenschaften der Primzahlenfolge für Vergleichszwecke herausgegriffen werden.


1.) Das Wachstumsverhalten der Primzahlenfolge

Die Anzahl der Folgenglieder der Primzahlenfolge wächst monoton (aber nicht streng monoton) mit N ∈ ℕ. Diese Funktion wird hier als Primzahlenzählfunktion π(N) bezeichnet.


Bild 1.1: Anzahl Primzahlen bis zu einer natürlichen Zahl N


2.) Asymptotische Äquivalenz der Anzahl Primzahlen bis N (Primzahlsatz)

Der Primzahlsatz macht eine Näherungsangabe für die Anzahl der Primzahlen bis zu einer natürlichen Zahl N. Er ist mathematisch folgendermaßen formuliert:

(1.1)

Mathematisch präziser ausgedrückt bedeutet dies, dass π(N) asymptotisch äquivalent zu N/ln(N) für N → ∞ ist. Man kann die Formel deshalb so hinschreiben, dass links der Quotient der beiden äquivalenten Terme steht, der dann für N → ∞ gegen die horizontale Asymptote bei 1 läuft.

(1.2)


Bild 1.2: Asymptotische Äquivalenz der Anzahl Primzahlen


Bei der Herleitung des Primzahlsatzes in einem weiteren Beitrag „Die Entzauberung der Primzahlenfolge“ werde ich zeigen, was die eigentliche Ursache für dieses asymptotische Verhalten ist, was also die Grundlage für das logarithmische Wachstum ln(N) (rechter Term des Zählers) bildet – und den linken Term π(N) quasi erzwingt. Dort werde ich auch eine alternative, wesentlich besser verständliche und genauere Näherungsformel vorschlagen. In diesem und im nächsten Beitrag werden mehrere dem Primzahlsatz äquivalente Sätze aufgestellt und dem Primzahlsatz formal gegenübergestellt. (Aber nicht bewiesen. Das überlasse ich den Mathematikprofis.)


3.) Asymptotische Äquivalenz der Primzahlensumme

Diese Gleichung sieht man gelegentlich in der Literatur als Angabe einer asymptotischen Äquivalenz für die Primzahlensumme:

(1.3)

Als Quotient ausgedrückt, mit der horizontalen Asymptote bei 1:

(1.4)

Die Annäherung an die horizontale Asymptote bei 1 ist wie schon bei der Anzahl Primzahlen nicht besonders überzeugend:


Bild 1.3: Asymptotische Äquivalenz der Primzahlensumme


Bei der Herleitung des Primzahlsatzes werde ich auch für die Primzahlensumme zeigen, was die eigentliche Ursache für dieses asymptotische Verhalten ist. Dann werde ich auch für die obige Formel eine alternative, wesentlich besser verständliche und deutlich verbesserte Näherungsformel vorschlagen.

Diese drei ausgewählten Merkmale der Primzahlenfolge sollten erstmal ausreichen, um sich eine grobe Übersicht über die gemeinsamen Eigenschaften der Primzahlenfolge und deren unendlich vielen verwandten Folgen zu verschaffen. Dies gilt zumindest für den hier beschrittenen Weg in Richtung einer Verallgemeinerung der Primzahlenfolge zu den diversen primzahlenfolgeähnlichen Folgen. Für tiefergehende Untersuchungen auf dem Weg zurück, also bei der zunehmenden Spezialisierung der zuvor verallgemeinerten Folgen in Richtung Primzahlenfolge, werden weitere, teils völlig neue Merkmale herangezogen, um detailliertere Vergleiche der verschiedenen Folgenklassen zu ermöglichen (siehe Folgebeitrag „Die Entzauberung der Primzahlenfolge“).



                                            

2 Oszillatorenfolgen

Die Primzahlenfolge ist eine Oszillatorenfolge. Ihre Folgenglieder sind die Primzahlen, die hier aber als Prim-Oszillatoren gedeutet werden. Die Glieder der Folge kann man sich als Angaben zu Periodenlängen von Oszillatoren vorstellen. Die Oszillatoren sind starr miteinander gekoppelt, d. h. es gibt wie bei ineinandergreifenden Zahnrädern keinerlei Schlupf. Bereits mit dem Erscheinen des ersten Prim-Oszillators O1,2 entsprechend der Primzahl P1 = 2 ist die gesamte Primzahlenfolge mit ihren unendlich vielen Gliedern eindeutig vorherbestimmt. Sie entsteht gewissermaßen aus sich selbst heraus, wobei ein nächster Oszillator immer dann der Folge hinzugefügt wird, wenn keiner der bereits vorhandenen Oszillatoren einen Nulldurchgang hat. Daher kann der simple, ewig sich selbst erweiternde Primzahlenautomat in dem Film „Die Türme von Prim“ auch die gesamte Primzahlenfolge korrekt ermitteln. Dieser einfache Automat irrt sich niemals!

Die starre Kopplung resultiert aus dem Umstand, dass die Prim-Oszillatoren absolut deterministisch arbeiten. Jeder Oszillator Oi durchläuft streng geordnet und unendlich oft seine Periode von 0 bis Pi − 1, sobald er erst einmal in dem Automat installiert ist. Das heißt, es passieren niemals Fehler, die zu einer Art Schlupf führen würden. Folglich bleibt auch nichts dem Zufall überlassen.

Aber was passiert, wenn man absichtlich in irgendeiner Runde N an irgendeinem Oszillator einen Fehler einbaut? Beispielsweise könnte der Oszillator Ok in der Runde N um gar kein Inkrement oder um mehr als ein Inkrement weitergeschaltet werden. Dies würde im Film das Versäumen der Verschiebung eines Turmsteins bzw. das Verschieben von mehreren Turmsteinen in einem einzigen Schritt bedeuten, was nicht erlaubt ist.

Es leuchtet unschwer ein, dass der Automat nach dieser einmaligen Störung unbeirrt bis ins Unendliche weiterarbeiten wird. Aber was für eine Zahlenfolge produziert er jetzt? Auf jeden Fall nicht mehr die Primzahlenfolge, sondern irgendeine andere starr festgelegte Folge mit Oszillatoren, die nicht mehr ausschließlich Prim-Oszillatoren sein werden. Allerdings verändert sich die Architektur des Automaten und der von ihm generierten Folge dadurch nicht, denn das Bildungsgesetz der Folge (repräsentiert durch den Automat und die vier Regeln im Film) wird ja im weiteren Verlauf in keinster Weise abgeändert.

Es leuchtet sicherlich auch unmittelbar ein, dass es unendlich viele Möglichkeiten für eine Einzelstörung gibt. Des Weiteren können auch Mehrfachstörungen in einer bestimmten Runde auftreten oder auch nacheinander in mehreren Runden. Selbstverständlich besteht auch die Möglichkeit, eine beliebige Oszillatorenkombination als Startwertevorbesetzung einer Folge vorzugeben, usw. Es bedarf wohl keines Beweises, um anzuerkennen, dass es unendlich viele Oszillatorenfolgen gibt.

Mit den schier unbegrenzten Variationsmöglichkeiten der Beeinflussung des Primzahlenautomaten wird dieser zu einem universellen Werkzeug, um beliebig viele Oszillatorenfolgen zu produzieren. Einerseits darf erwartet werden, dass die Folgen – makroskopisch betrachtet – in der Regel der Primzahlenfolge sehr ähnlich sein dürften (Ausnahmen bestätigen auch hier die Regel). Andererseits sind Gestaltungsmöglichkeiten vorstellbar, um bestimmte Eigenschaften dieser Folgen definiert vorzugeben.

Als erstes Beispiel erzeugen wir eine recht kuriose Folge, indem gleich der erste Prim-Oszillator O1,2 sofort nach dessen Installation im Primzahlenautomat (in der Runde N = 2) um ein Inkrement verstimmt wird. Aus der 0 wird also eine 1. Die 1 erzeugt zwar eine Pseudo-Freigabe (violetter Haken in der On-Spalte im Bild 2.1), aber der Automat hat diese Runde bereits komplett durchlaufen und ignoriert diese Freigabe. Dafür erfolgt in der nächsten Runde N = 3 sofort ein weiterer Nulldurchgang des Oszillators O1,2, weshalb P2 = 3 nicht als nächster Prim-Oszillator installiert werden kann. Die Primzahlenfolge wird damit ab dieser Stelle zerstört. Anstelle des Prim-Oszillators mit der Periode 3 erfolgt bei N = 4 die Installation des nächsten Oszillators mit der Periode 4, dies ist nun kein Prim-Oszillator mehr.

Alle Nulldurchgänge des ersten Oszillators treten jetzt generell nicht mehr bei geraden Zahlen N auf, sondern bei ungeraden Zahlen N. Folglich sind alle Glieder dieser Folge gerade Zahlen und somit keine Primzahlen (bis auf die 2). Man kann diese Folge also allen Ernstes als eine Art Anti-Primzahlenfolge bezeichnen. Die ersten Glieder dieser Folge sind: {2,4,6,10,14,22,26,34,38,46,58,62,74,82,86,94,106,...}. Es gibt übrigens beliebig viele Anti-Primzahlenfolgen, wie man sich leicht klarmachen kann.

Anstelle der Pi, die für Primzahlen standen, schreiben wir bei den allgemeinen Oszillatorenfolgen jetzt Zi, um auf die starre Kopplung der Oszillatoren wie bei Zahnrädern hinzuweisen. Oszillatorkaskaden, die sämtliche ersten Oszillatoren der Folgen beinhalten, nennen wir auch hier Superoszillatorkaskaden und verwenden synonym den Begriff Superoszillatoren.

Anhand dieses ersten Beispiels wird schon ersichtlich, dass die ewige Periodizität einer Oszillatorkaskade sich erst nach der (letzten) Störung einstellen kann. Die Periodizität beginnt im Bild 2.1 bei N = 3. Außerdem kann es – wie im Bild 2.1 zu sehen ist – passieren, dass es innerhalb der gesamten Periode gar keine Kombination mit ausschließlich Nullen mehr gibt. Daraus resultiert die Tatsache, dass die Folge keine Zwillinge entsprechend den Primzahlzwillingen haben kann. Der Zwillinge-Beweis ist für diese Anti-Primzahlenfolge also hiermit bereits vollbracht.

Die Periodenlängen der Oszillatorkaskaden werden jetzt in der Regel nicht mehr die Produkte aller Zi sein, da ein Zn ein Vielfaches von Zm sein kann. Da im Bild 2.1 Z2 = 2 ⋅ Z1 und Z3 = 3 ⋅ Z1 ist, ist die Periodenlänge nicht mehr das Produkt aus Z1 ⋅ Z2 ⋅ Z3  = 48 sondern das Produkt aus Z1 ⋅ (Z2 / 2)  ⋅ (Z3 / 2) = 12.

Bild 2.1: Beispiel für die Störung eines Oszillators


Bei der Primzahlenfolge lieferte der Superoszillator aus den ersten drei Prim-Oszillatoren eine Wahrscheinlichkeit von 8/30 für eine Freischaltung des nächsten Oszillators. Hier beträgt diese Wahrscheinlichkeit lediglich (1/2) ⋅ (1/2) ⋅  (2/3) = 2/12. Und weil die ersten Folgenglieder den weiteren Verlauf der Folge am stärksten beeinflussen, ist zu erwarten, dass diese Folge im Verhältnis zur Primzahlenfolge deutlich weniger Glieder enthalten wird. Zumindest am Folgenanfang.

Weitere Beispiele für Oszillatorenfolgen können sehr einfach konstruiert werden. Wir beschränken uns zunächst auf Störungen der ersten Prim-Oszillatoren O1,2, O2,3 und O3,5, wobei wir uns aber von den insgesamt 2⋅3⋅5 = 30 möglichen Kombinationen auf 10 Kombinationen beschränken wollen. Die Folgen benennen wir sinnigerweise so:

Folge 000: Keiner der drei ersten Prim-Oszillatoren ist gestört. Das ergibt die Primzahlenfolge.
Folge 100: O1,2 ist gestört (Anti-Primzahlenfolge aus obigem Beispiel).
Folge 010: O2,3 ist gestört (+ 1 Inkrement).
Folge 020: O2,3 ist gestört (+ 2 Inkremente).
Folge 110: O1,2 ist gestört und O2,3 ist gestört (+ 1 Inkrement).
Folge 120: O1,2 ist gestört und O2,3 ist gestört (+ 2 Inkremente).
Folge 001: O3,5 ist gestört (+ 1 Inkrement).
Folge 002: O3,5 ist gestört (+ 2 Inkremente).
Folge 003: O3,5 ist gestört (+ 3 Inkremente).
Folge 004: O3,5 ist gestört (+ 4 Inkremente).

Für diese zehn Folgen können wir die drei im Abschnitt 1 ausgewählten Eigenschaften der Primzahlenfolge (Bilder 1.1 bis 1.3) gegenüberstellen, wobei die Primzahlenfolge selbst hier als Folge 000 zum direkten Vergleich mit dabei ist. Um herauszustellen, dass wir es hier nicht mehr nur mit der Primzahlenfolge zu tun haben, schreiben wir statt π(N) jetzt πZ(N). Der Buchstabe Z soll auch hier auf die starre Kopplung der Oszillatoren wie bei Zahnrädern hinweisen.

Die folgenden Bilder 2.2 bis 2.7 zeigen jeweils für alle zehn Folgen die Eigenschaften analog zu den Bildern 1.1 bis 1.3, jetzt allerdings in jeweils zwei unterschiedlichen Skalierungen, um mehr Details erkennen zu lassen. Alle Plots sind hochaufgelöst und können bei Bedarf vergrößert betrachtet werden.

Übrigens: Die Folgen 100 und 110 sind aneinander gebunden (ja, solche Effekte gibt es hier auch!) und tanzen daher vermutlich bis in alle Ewigkeit umeinander herum. Deshalb ist die Folge 100 in einigen Bildern durch die Folge 110 komplett verdeckt, Suchen ist also zwecklos!


1.) Das Wachstumsverhalten der Oszillatorenfolgen

Die Anzahl der Folgenglieder der Oszillatorenfolgen wächst monoton (aber nicht streng monoton) mit N, diese Funktion wird hier allgemein mit πZ(N) bezeichnet. Der konkrete Verlauf ist für jede Folge ein anderer.


Bild 2.2: Anzahl der Folgenglieder einiger Oszillatorenfolgen bis zur natürlichen Zahl N = 1000


In der Regel steigt die Primzahlenfolge (Folge 000) am steilsten an, zumindest anfangs, sie kann aber im weiteren Verlauf von anderen Folgen überholt werden. Ich vermute, dass dieses Verhalten etwas mit minimaler Redundanz in der Primzahlenfolge zu tun haben könnte, das Phänomen müsste aber noch genauer untersucht werden.


Bild 2.3: Anzahl der Folgenglieder einiger Oszillatorenfolgen bis zur natürlichen Zahl N = 100000000


Eine spannende Frage ist, ob die Kurven sich bei sehr großen N alle wieder einander nähern oder ob sie sich bis ins Unendliche immer weiter voneinander entfernen. Ich vermute eine Wiederannäherung, kann dies aber nicht belegen oder genauer untersuchen, weil ich zu wenig über unendliche Produktreihen weiß. Den Mathematikern, die sich dafür interessieren, werde ich aber später noch einige Hinweise hierzu geben. Die Distanzwerte Di, die weiter unten noch eine sehr wichtige Rolle spielen werden, dürften vermutlich diesbezüglich der entscheidende Einflussfaktor sein.


2.) Asymptotische Äquivalenz der Anzahl Oszillatoren

Ein dem Primzahlsatz entsprechender Satz könnte auch für die meisten Oszillatorenfolgen Näherungswerte für die Anzahl der Oszillatoren bis zu einer natürlichen Zahl N liefern. Der Oszillatorensatz als Primzahlsatz-Äquivalent wäre mathematisch wie folgt zu formulieren:

(2.1)

Mathematisch präziser formuliert müsste es heißen, dass πZ(N) asymptotisch äquivalent zu N / ln(N) für N → ∞ zu vermuten ist. Man kann daher auch hier die Formel entsprechend Gl. (1.2) so hinschreiben, dass links der Quotient der beiden äquivalenten Terme steht, der dann für N → ∞ gegen die horizontale Asymptote bei 1 läuft:

(2.2)


Bild 2.4: Asymptotisches Verhalten von πZ(N) bis zur natürlichen Zahl N = 10000


Im Bild 2.4 haben am Anfang alle Folgen denselben Verlauf, sie beginnen gemeinsam bei N = 2. Die Kurven liegen also zunächst übereinander und erst durch die diversen Störungen laufen sie auseinander.


Bild 2.5: Asymptotisches Verhalten von πZ(N) bis zur natürlichen Zahl N = 100000000


Bei der Betrachtung der einzelnen Verläufe fällt auf, dass es Folgen gibt, die offenbar besser gegen die horizontale Asymptote bei 1 konvergieren als die Primzahlenfolge (Folge 000) selbst. Andere Folgen scheinen überhaupt nicht in Richtung der Asymptote laufen zu wollen. Ich habe daher zahlreiche gezielte Experimente zum Einschwingverhalten der Oszillatorenfolgen gemacht. Das vorläufige Ergebnis dieser Untersuchungen ist, dass das Einschwingen und damit das Streben der Folgen gegen die Asymptote extrem lange dauern können. Ich vermute daher, dass alle hier gezeigten Folgen früher oder später doch noch in Richtung der horizontalen Asymptote bei 1 laufen werden, diese irgendwann erreichen und dann beliebig oft um sie herum tanzen werden.


3.) Asymptotische Äquivalenz der Oszillatorensumme

Eine entsprechende Gleichung wie für die Primzahlensumme lässt sich auch für die Oszillatorensumme angeben:

(2.3)

Anders ausgedrückt, mit der horizontale Asymptote bei 1:

(2.4)

Die Annäherung an die horizontale Asymptote bei 1 ist wie schon bei der Anzahl Oszillatoren sehr unterschiedlich:


Bild 2.6: Asymptotisches Verhalten der Oszillatorensumme bis zur natürlichen Zahl N = 10000


Auch bei der Betrachtung dieser einzelnen Verläufe fällt auf, dass es Folgen gibt, die offenbar besser gegen die horizontale Asymptote bei 1 konvergieren als die Primzahlenfolge (Folge 000) selbst. Andere Folgen scheinen auch hier überhaupt nicht in Richtung der Asymptote laufen zu wollen. Aber die Verläufe zeigen ja nur die wenigen ersten Folgenglieder. Von der Unendlichkeit wurde hier noch kein Stückchen verbraucht. Ich bin relativ zuversichtlich, dass die noch ausstehende gründliche Untersuchung der Oszillatorenfolgen das vermutete asymptotische Verhalten als Tatsache herleiten wird.


Bild 2.7: Asymptotisches Verhalten der Oszillatorensumme bis zur natürlichen Zahl N = 100000000


Es gibt überhaupt keinen Grund, die in dem Beitrag „Die Türme von Prim“ zusammengestellten Formeln für Wahrscheinlichkeiten und Distanzen bei der Primzahlenfolge nicht auch auf die gesamte Klasse der Oszillatorenfolgen zu übertragen. Mit einer leicht angepassten Nomenklatur können die Gln. (9.5) bis (9.8) von dort wie folgt hierher übernommen werden:

Formale Wahrscheinlichkeit pk(Zk) für das Auftreten des nächsten Oszillators (Zk+1):

(2.5)
(2.6)
Erwartete Distanz (Delta, Entfernung) Dk(Zk) bis zum nächsten im Automat zu installierenden Oszillator:
(2.7)
(2.8)

Nun sind wir schon ein gutes Stück vorangekommen auf unserem Weg der Verallgemeinerung der Primzahlenfolge zu einer riesigen Klasse von ähnlichen Folgen. Hier gibt es bestimmt noch einiges zu entdecken. Ich werde mich aber hüten, meine eigenen bisher erzielten Ergebnisse an dieser Stelle auch nur ansatzweise niederzuschreiben. Denn sonst würden wir nicht weiterkommen auf dem eigentlichen, recht ambitionierten Weg, der noch vor uns liegt.

Im nächsten Abschnitt wird eine weitere Verallgemeinerung der bisher betrachteten Folgen vorgenommen. Dort wird gezeigt, dass die Oszillatorenfolgen nur ein Spezialfall einer viel größeren Klasse von primzahlenfolgeähnlichen Folgen sind. Es wird dann auch besser verständlich, weshalb ich in diesem Abschnitt den Begriff „starr gekoppelt wie bei Zahnrädern“ gebraucht habe.



                                            

3 Zufallsgeneratorenfolgen

Einige Eigenschaften der Oszillatorenfolgen haben bereits den Charakter von Zufallsfolgen. Dabei handelt es sich jedoch um Pseudo-Zufall, denn diese Folgen sind ja streng deterministisch. Betrachtet man den Beitrag der ersten k Oszillatoren der Folgen zu der Freischaltung neuer Oszillatoren, so findet man, dass der Pseudo-Zufall eine recht gute Zufallsqualität erreicht, wenn alle k Oszillatoren ihre Perioden schon häufig durchlaufen haben.

Wenn das Hinzufügen neuer Folgenglieder zu den Oszillatorenfolgen schon zufallsähnlich zu sein scheint, dann stellt sich doch die Frage, was sich an den Folgen eigentlich verändern würde, wenn man die Eigenschaft „starr gekoppelt wie bei Zahnrädern“ aufgeben und einen Schlupf der Oszillatoren zulassen würde. Mit Schlupf zulassen ist gemeint, dass die Oszillatoren zufallsgesteuert ab und zu statt um das erlaubte eine Inkrement pro Runde entweder gar nicht oder um mehrere Inkremente weitergeschaltet werden dürfen. Dadurch wäre die wichtige Modulo-Funktionalität der Oszillatoren natürlich zerstört. Und was würde sich sonst noch ändern?

Wenn man diese Frage auf die Spitze treibt, dann fragt man letztendlich danach, was passieren würde, wenn man alle Oszillatoren durch perfekte Zufallsgeneratoren ersetzen würde. Wären die Eigenschaften dieser Zufallsgeneratorenfolgen grundsätzlich anders als die der Oszillatorenfolgen?

Der Primzahlenautomat aus dem Film „Die Türme von Prim“ könnte mit Zufallsgeneratoren so ähnlich funktionieren wie mit Oszillatoren. In jeder Runde N würden jetzt die Turmsteine auf den jeweils zusammengehörigen Turm-Aufbauplätzen (Rot) und Turm-Abbauplätzen (grün) zufällig verteilt werden. Die Begriffe Turm-Aufbauplatz und Turm-Abbauplatz machen dann aber keinen Sinn mehr, die Verteilung der Steine würde stattdessen zufallsgesteuert auf zwei gleichberechtigten Plätzen vonstattengehen.

Beispiel:
Im Primzahlenautomat wird in der Runde N = 7 für die Primzahl P4 = 7 ein neuer Oszillator O4,7 mit 7 Turmsteinen installiert. Durch das Umstapeln (Regel 1) und Zurückschieben (Regel 2) in allen folgenden Runden wird dann mit diesen 7 Turmsteinen eine Modulo-7-Funktionalität erzielt.

An die Stelle des Oszillators O4,7 soll jetzt ein Zufallsgenerator installiert werden. Wir nennen ihn R4,7, wobei der Buchstabe R auf Random (Zufall) hindeuten soll.

Der Index 4 bedeutet nun, dass es der 4-te Zufallsgenerator im Automat ist, der Index 7 bedeutet, dass der Zufallsgenerator sieben verschiedene ganze Zahlen zwischen 0 und (7 − 1) generieren kann.

Bild 3.1: Das Türmebaufeld am Ende der Runde 7


Regel 1 lautet nun nicht mehr „Umstapeln“ sondern „Lege die zufällig ermittelte Anzahl (x) Steine auf den einen Platz des Plätze-Paares und die übrigen (7 − x) Steine auf den anderen Platz“.

Die Regel 2 (Zurückschieben) entfällt hier ersatzlos.

Die Regel 3 (Aufstapeln) wird nicht verändert, sie sorgt für das Heranwachsen des nächsten, höheren Turms.

Die Regel 4 besagt weiterhin, dass wenn alle vorhandenen Plätze belegt sind, ein neuer Platz vor dem Neubauplatz (blau) eingerichtet und der Neubauturm kopiert werden soll. Der alte Neubauturm liefert die Anzahl Steine für den neuen Zufallsgenerator. Mit der nicht veränderten Regel 4 wird also auch hier die ständige Erweiterung des Automaten erzielt.

Diese Betrachtungen zeigen, dass es möglich ist, jede beliebige Oszillatorenfolge ab einer beliebigen Runde N in eine Zufallsfolge umzuwandeln. Der Oszillatorenautomat funktioniert mit Zufallsgeneratoren im Prinzip genauso wie mit Oszillatoren.

Der erste mögliche Zufallsgenerator wäre R1,2 = 2. Er liefert die beiden Zufallswerte 0 und 1. Bei allen nachfolgenden Betrachtungen wird davon ausgegangen, dass R1,2 als erstes Glied in den Folgen enthalten (also im Automat installiert) ist. Das erleichtert es mir, sich auf das Wesentliche zu fokussieren und führt uns zu einer interessanten Mutterfolge dieser Unterklasse von Oszillatorenfolgen. Ansonsten können Oszillatorenfolgen aber mit beliebigen R1,x = x beginnen.

Mit R1,2 als dem ersten Zufallsgenerator vor Augen kann man sich gut klarmachen, wie eine Zählfunktion πR(N) als analoge Zählfunktion zu π(N) verlaufen könnte. Der Extremfall auf der Unterseite wäre πR(N) = 1 für N → ∞. Dies wäre dann der Fall, wenn R1,2 in jeder Runde eine 0 liefern würde. Der Extremfall auf der Oberseite wäre πR(N) = N − 1 für N → ∞. Dies wäre dann der Fall, wenn alle Zufallsgeneratoren bis in alle Ewigkeit zufällig nur Werte größer 0 liefern würden. Alle anderen möglichen Folgen bewegen sich dazwischen, wobei alle möglichen Permutationen es bedingen, dass es für ein vorgegebenes N und einen bestimmten Wert von πR(N) in der Regel extrem viele Folgen geben wird, die sich in der Besetzung der Zufallsgeneratoren unterscheiden.

Es bedarf keines Beweises sondern lediglich einer einfachen Überlegung, um festzustellen, dass sämtliche Oszillatorenfolgen und damit auch die Primzahlenfolge in der Menge der Zufallsgeneratorenfolgen mit enthalten sind. Wir haben also bereits die zweite Ebene einer Verallgemeinerung der Primzahlenfolge erreicht und stellen erneut fest, dass die Primzahlenfolge im Grunde keine so sehr besondere Folge ist, wie heute noch allgemeinhin angenommen wird.

Um die Eigenschaften der Zufallsgeneratorenfolgen mit denen der Oszillatorenfolgen aus dem vorangegangenen Abschnitt gut miteinander vergleichen zu können, werden wieder zehn Folgen erzeugt, deren Startbedingungen den oben betrachteten zehn Oszillatorenfolgen entsprechen. Nach den Startsequenzen wird die starre Kopplung aufgehoben und der weitere Verlauf wird völlig dem Zufall überlassen.

Auch für diese zehn Folgen sollen die drei im Abschnitt 1 ausgewählten Eigenschaften der Primzahlenfolge (Bilder 1.1 bis 1.3) miteinander verglichen werden. Die Bilder 3.2 bis 3.7 zeigen analog zu den Bildern 2.2 bis 2.7 die drei Eigenschaften für alle zehn Zufallsgeneratorenfolgen in jeweils zwei unterschiedlichen Skalierungen.


1.) Das Wachstumsverhalten der Zufallsgeneratorenfolgen

Die Anzahl der Folgenglieder der Zufallsgeneratorenfolgen wächst monoton (aber nicht streng monoton) mit N, diese Funktion wird hier allgemein als Zählfunktion πR(N) bezeichnet. Der konkrete Verlauf ist für jede Folge natürlich ein anderer. Und auch jede wiederholte Generierung der Folgen liefert normalerweise (gute Zufallsqualität der Generatoren vorausgesetzt) andere Ergebnisse. Ein deterministisches Verhalten gibt es hier nicht mehr.


Bild 3.2: Anzahl der Folgenglieder einiger Zufallsgeneratorenfolgen bis zur natürlichen Zahl N = 1000


Ein Vergleich der Bilder 3.2 und 3.3 mit den Bildern 2.2 und 2.3 zeigt schon, dass die Verläufe der Zufallsgeneratorenfolgen wesentlich dichter beieinander liegen als bei den Oszillatorenfolgen.


Bild 3.3: Anzahl der Folgenglieder einiger Zufallsgeneratorenfolgen bis zur natürlichen Zahl N = 100000000


Auch hier stellt sich die spannende Frage, ob die Kurven sich bei sehr großen N alle wieder einander nähern oder ob sie sich bis ins Unendliche immer weiter voneinander entfernen. Ich vermute – hier noch wesentlich zuversichtlicher als schon bei den Oszillatorenfolgen – eine Wiederannäherung. Eine recht gute Plausibilisierung dieser Vermutung werden wir durch weitere Verallgemeinerungen der hier betrachteten primzahlenfolgeähnlichen Folgen und die daraus resultierenden Erkenntnisse bekommen.


2.) Asymptotische Äquivalenz der Anzahl Zufallsgeneratoren

Ein entsprechender Satz zum Primzahlsatz könnte in der Regel (bei angenommenem normalen Zufallsverhalten) auch für die Zufallsgeneratorenfolgen eine Näherungsangabe für die erwartete Anzahl der Generatoren bis zu einer natürlichen Zahl N liefern. Der Zufallsgeneratorensatz wäre als Primzahlsatz-Äquivalent entsprechend den Formeln (1.1) und (2.1) mathematisch wie folgt zu formulieren:

(3.1)

Die den Formeln (1.2) und (2.2) entsprechende Formel ist:

(3.2)

Dieser Zusammenhang gilt vermutlich universell für alle Zufallsgeneratorenfolgen, die gemäß dem hier besprochenen Zufallsgeneratoren-Konzept zufällig generiert werden.


Bild 3.4: Asymptotisches Verhalten von πR(N) bis zur natürlichen Zahl N = 10000


Im Bild 3.4 haben anfangs alle Folgen denselben Verlauf, sie beginnen gemeinsam bei N = 2. Die Kurven liegen also zunächst übereinander und erst am Ende der Anfangssequenzen laufen alle auseinander.


Bild 3.5: Asymptotisches Verhalten von πR(N) bis zur natürlichen Zahl N = 100000000


Ein Vergleich der Bilder 3.4 und 3.5 mit den Bildern 2.4 und 2.5 unter Beachtung der Skalierungen macht deutlich, dass die Zufallsgeneratorenfolgen offenbar viel besser gegen die Asymptote bei 1 konvergieren als die Oszillatorenfolgen, was auf die ausgleichende Wirkung des Zufalls zurückzuführen ist.

Bei der Betrachtung der einzelnen Verläufe fällt auf, dass jetzt alle Folgen gegen die horizontale Asymptote bei 1 konvergieren, unabhängig davon, ob sie sich von unten nähern oder von oben. Ich habe auch mit dieser Folgenklasse zahlreiche Experimente zum Einschwingverhalten der Folgen gemacht. Das vorläufige Ergebnis der Untersuchungen ist, dass das Einschwingen und damit das Streben der Folgen gegen die Asymptote sehr viel schneller erfolgt als bei den Oszillatorenfolgen. Ich vermute daher, dass alle hier gezeigten Folgen früher oder später in Richtung der horizontalen Asymptote bei 1 laufen werden, diese irgendwann erreichen und sie dann beliebig oft schneiden werden.


3.) Asymptotische Äquivalenz der Zufallsgeneratorensumme

Eine entsprechende Gleichung wie für die Primzahlensumme (Gl. 1.3) und die Oszillatorensumme (Gl. 2.3) lässt sich auch für die Zufallsgeneratorensumme angeben:

(3.3)

Anders ausgedrückt, mit der horizontalen Asymptote bei 1 (vgl. Gln. 1.4 und 2.4):

(3.4)

Die Annäherung an die horizontale Asymptote bei 1 ist wie schon bei der Anzahl Zufallsgeneratoren sehr unterschiedlich ausgeprägt:


Bild 3.6: Asymptotische Äquivalenz der Zufallsgeneratorensumme bis zur natürlichen Zahl N = 10000


Auch bei der Betrachtung dieser einzelnen Verläufe fällt auf, dass es Folgen gibt, die offenbar besser gegen die horizontale Asymptote bei 1 konvergieren als die Primzahlenfolge selbst, vgl. Bild 1.3. Andere Folgen scheinen auch hier zunächst überhaupt nicht in Richtung der Asymptote laufen zu wollen. Nach einer Beruhigungsphase jedoch, in der die anfänglichen Einschwingvorgänge ausklingen, laufen alle Kurven in Richtung der Asymptote. Ich bin daher sehr zuversichtlich, dass die noch ausstehende gründliche Untersuchung der Zufallsgeneratorenfolgen das vermutete asymptotische Verhalten als Tatsache bestätigen wird.


Bild 3.7: Asymptotische Äquivalenz der Zufallsgeneratorensumme bis zur natürlichen Zahl N = 100000000


Es gibt auch nach dieser zweiten, sehr weit reichenden Verallgemeinerung der Primzahlenfolge weiterhin überhaupt keinen Grund, die in dem Beitrag „Die Türme von Prim“ zusammengestellten Formeln für Wahrscheinlichkeiten und Distanzen nicht auch auf die gesamte Klasse von Zufallsgeneratorenfolgen zu übertragen. Mit einer leicht angepassten Nomenklatur können die Gleichungen von dort wie folgt hierher übernommen werden:

Formale Wahrscheinlichkeit pk(Rk) für das Auftreten des nächsten Random-Generators (Rk+1):

(3.5)
(3.6)
Erwartete Distanz (Delta, Entfernung) Dk(Rk) bis zum nächsten im Automat zu installierenden Random-Generator:
(3.7)
(3.8)

Nun sind wir wieder ein gutes Stück weitergekommen auf unserem Weg der Verallgemeinerung der Primzahlenfolge zu einer riesigen Klasse von ähnlichen Folgen. Hier hätte ich noch eine riesige Menge eigener Feststellungen und Beobachtungen zu berichten. Ich werde mich jedoch weiterhin hüten, meine eigenen bisher erzielten Ergebnisse hier in der gesamten Breite zu präsentieren. Denn es ist im Vergleich zu dem eigentlichen Ziel dieser Reise bloße Spielerei (die ich allerdings sehr spannend finde).

Einen Aspekt möchte ich hier allerdings lieber doch nicht fortlassen, weil er von besonderer mathematischer Bedeutung sein könnte. Es lässt sich nämlich eine (von mir so genannte) Mutterfolge aller möglichen Zufallsgeneratorenfolgen konstruieren. Diese Folge wäre dann quasi auch die Mutterfolge der Primzahlenfolge selbst. Auf diese Folge werde ich im nächsten Abschnitt kurz eingehen.


                                            

4 Die Mutterfolge der Zufallsgeneratorenfolgen

Wenn man mehrere Zufallsgeneratorenfolgen πR,i(N) ermittelt hat, kann man für diese Folgen eine Mittelwertefolge berechnen. Was genau hier damit gemeint ist, zeigt das folgende Beispiel mit Beschränkung auf zwei Folgen und N = 10:

Folge 1: {R1,2, R2,3, R3,4, R4,6, R5,7, R6,9}
Folge 2: {R1,2, R2,7, R3,8}

Die Folge 1 beinhaltet sechs Random-Generatoren, die Folge 2 aber nur drei. Wie kann man für diese beiden Folgen eine Mittelwertefolge berechnen?

Für die beiden zugehörigen Zählfunktionen πR,1(N) und πR,2(N) existiert für jedes N ein ganzzahliger Funktionswert:

N:   12345678910
πR,1(N):   0123345566
πR,2(N):   0111112333

Jetzt kann man für jede natürliche Zahl den Mittelwert der Funktionswerte der Zählfunktionen πR,i(N) bilden. Die Mittelwerte sind jetzt nicht mehr ausschließlich ganze sondern in der Regel gebrochene (rationale) Zahlen. Die Verläufe dieser zwei Zählfunktionen und deren Mittelwertefunktion sehen so aus:


Bild 4.1: Mittelwertefolge für zwei Folgen


Diese Mittelwertbildung kann man völlig analog für viele, im Extremfall für sämtliche möglichen Zufallsgeneratorenfolgen durchführen. Man kann die einzelnen Folgen vor der Mittelwertbildung zusätzlich noch mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit gewichten, mit der eine Folge auftritt. Diese Wahrscheinlichkeit ist für jede Folge zu ermitteln, und zwar explizit für jede natürliche Zahl N, da sich die Wahrscheinlichkeit in jeder Runde N ändert. Dies führt zu einem recht komplexen und extrem rechenintensiven Algorithmus, auf den ich hier lieber nicht genauer eingehen will.

Die aus dieser Berechnung resultierende Mittelwertefolge nenne ich die Mutterfolge der Zufallsgeneratorenfolgen. Und weil in der Menge der Zufallsgeneratorenfolgen auch alle Oszillatorenfolgen enthalten sind, ist diese Folge somit auch die Mutterfolge für diese Teilmenge der primzahlenfolgeähnlichen Folgen. In dieser Teilmenge ist wiederum die Primzahlenfolge selbst mit enthalten. Deshalb bezeichne ich diese Mittelwertefolge auch gern als die Mutterfolge der Primzahlenfolge. (Diese Mutterfolge hat jedoch nichts mit der später betrachteten Stammmutterfolge als Prototyp aller Folgen mit inhärentem Regelkreis zu tun, außer, dass die Mutterfolge selbst wiederum ein Abkömmling der Stammmutterfolge ist.)

Aber wie sieht sie nun aus, diese Mutterfolge der Primzahlenfolge? Und welche Bedeutung könnte diese Folge haben?

Nun, die Mutterfolge lässt sich immerhin exakt berechnen. Ihre Folgenglieder sind rationale Zahlen. Sie ist vermutlich streng monoton steigend (was entweder schon längst irgendwo bewiesen wurde oder vermutlich leicht bewiesen werden könnte). Ich habe bisher noch nicht die Zeit gefunden, diese Folge in der Literatur zu recherchieren. Allerdings konnte ich mir deren Berechnungsvorschrift anhand eines Pascalschen Dreiecks verständlich machen und schließlich auch herleiten. Die Berechnung gestaltet sich (technisch gesehen) allerdings als recht schwierig. Für die ersten 40 Folgenglieder benötigte mein PC einige Stunden. Und ich frage mich, ob die Fließkommaeinheit eines PC präzise genug arbeitet, um weitere Folgenglieder mit meinem simplen Algorithmus noch sinnvoll auszurechnen. Ohne spezielle, optimierte Algorithmen kommt man hier nicht weit.

Die ermittelten ersten 40 Werte will ich Ihnen hier aber nicht vorenthalten, sie sind nachfolgend angegebenen. Vielleicht weiß jemand, wie diese in der Mathematik vermutlich gut bekannte Folge korrekt benannt wird? Ich würde mich für diesbezügliche Hinweise sehr freuen!


 1   0.0000000000000000          21   6.5766962908973330
 2   1.0000000000000000          22   6.8040671728292121
 3   1.5000000000000000          23   7.0289842493312156
 4   1.9166666666666667          24   7.2516058367177392
 5   2.2881944444444446          25   7.4720733640380708
 6   2.6307002314814811          26   7.6905138134840660
 7   2.9525840326003090          27   7.9070417239395168
 8   3.2588443018719970          28   8.1217608496923663
 9   3.5527317376499452          29   8.3347655443676469
10   3.8364984504217574          30   8.5461419234859548
11   4.1117801720067231          31   8.7559688479780799
12   4.3798092033814324          32   8.9643187600295811
13   4.6415413696890386          33   9.1712583986093907
14   4.8977358791687635          34   9.3768494122210910
15   5.1490077931486766          35   9.5811488864394931
16   5.3958637666927753          36   9.7842097925508114
17   5.6387271444155580          37   9.9860813671779489
18   5.8779560445881440          38   10.186809397750869
19   6.1138566856066205          39   10.386436279774440
20   6.3466934001680473          40   10.585001515083617

Um auf einen weiterreichenden Verlauf der Mutterfolge noch zu Lebzeiten einen Blick werfen zu können, muss man deren Verlauf anders ermitteln oder zumindest annähern. Die Mutterfolge ist ja definiert als der Mittelwert aller möglichen mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichteten Zufallsgeneratorenfolgen. Deren Verlauf spiegelt daher auch den wahrscheinlichsten Verlauf der Zufallsgeneratorenfolgen wider, was u. a. aus der Berechnungsvorschrift herleitbar ist. Dies bedeutet aber, dass der simple Mittelwert aus einer genügend hohen Anzahl zufällig ausgewählter Repräsentanten aus der Gesamtmenge der Folgen die Mutterfolge gut annähern sollte. Mit unendlich vielen Repräsentanten müsste das Ergebnis sogar gleich dem berechneten Ergebnis sein (glaube ich zumindest, das letzte Wort haben hier natürlich die Mathematikprofis).

Über diesen Weg ist es mir gelungen, die ersten 40 Glieder der Mutterfolge bis auf eine Differenz von einigen ppm an die berechneten Werte anzugleichen. Dafür wurde eine Milliarde Folgen ausgewertet. Eine weitere Heraufsetzung der ausgewerteten Folgen bis auf eine Billion führte zu keiner weiteren Angleichung mehr. Ich vermute, dass die Ursache dafür eine unzureichende Qualität der verwendeten Random-Funktionen ist. Für die Berechnung weiterer Folgenglieder bin ich wie folgt vorgegangen (womit mein PC jeweils einige Tage lang beschäftigt war):

Bis zum Folgenglied 100: 1000000000 Folgen
Bis zum Folgenglied 1000: 100000000 Folgen
Bis zum Folgenglied 10000: 10000000 Folgen
Bis zum Folgenglied 100000: 1000000 Folgen
Bis zum Folgenglied 1000000: 100000 Folgen

Im Bild 4.2 sind π(N) (Primzahlenzählfunktion) und die Mutterfolge bis N = 100 dargestellt, wobei die 40 berechneten Werte der Mutterfolge blau und die weiteren Werte grün dargestellt sind. Oder genauer: Die blaue Kurve verdeckt perfekt die vorhandene grüne Kurve.


Bild 4.2: Mutterfolge und die Primzahlenzählfunktion π(N) bis N = 100


Bild 4.3 zeigt den weiteren Verlauf beider Kurven bis N = 1000000. Ein direkter Vergleich dieses Bildes mit den Kurvenscharen im Bild 2.3 und Bild 3.3 macht vor allem eines deutlich: die Primzahlenfolge liegt – mal abgesehen von ihren ausschließlichen Primzahl-Folgengliedern – aus makroskopischer Sicht völlig unspektakulär mitten drin im sonstigen Geschehen des hier abgesteckten Folgenuniversums.


Bild 4.3: Mutterfolge und die Primzahlenzählfunktion π(N) bis N = 1000000


Rein formal (und in hiesigem Kontext schon fast gewohnheitsmäßig) kann als Äquivalent zum Primzahlsatz ein Mutterfolgesatz aufgestellt werden. Denn die Mutterfolge ist in vielen Merkmalen der Primzahlenfolge sehr ähnlich. Oder präziser formuliert: Die Primzahlenfolge ist in vielerlei Hinsicht ihrer Mutterfolge sehr ähnlich. Die asymptotische Äquivalenz der hier provisorisch als Mutterfolge-Zählfunktion bezeichneten Funktion πM(N) (die jetzt nicht mehr nur ganze sondern rationale Folgenglieder enthält) kann man in Anlehnung an die Formeln (1.1), (2.1) und (3.1) so hinschreiben:

(4.1)

Die den Formeln (1.2), (2.2) und (3.2) entsprechende Formel ist:

(4.2)

Im Bild 4.4 ist die asymptotische Äquivalenz der Mutterfolge im direkten Vergleich mit dem entsprechenden Graphen für die Primzahlenfolge dargestellt.


Bild 4.4: Asymptotische Äquivalenz der Mutterfolge


Was mich an der Kurve zur asymptotischen Äquivalenz der Mutterfolge völlig erstaunt, ist der sonderbare Einschwingvorgang. Die Kurve hat im Bereich um etwa N = 100 ein relatives Maximum und bei etwa N = 10000 ein relatives Minimum. Danach – das nehme ich zumindest an – nähert sie sich der horizontalen Asymptote bei 1 an. Oder gibt es noch mehr derartige Effekte? Jedenfalls wäre es sehr spannend, herauszufinden, warum es auch bei dieser Mittelwertefolge noch einen derartigen Einschwingvorgang gibt. (Obwohl ich meine, das Rätsel mit Hilfe der Stammmutterfolge gelöst zu haben: Der Primzahlsatz und alle hier analog zu diesem aufgestellten Sätze vergleichen schlichtweg asymptotisch Äpfel mit Birnen – beides ist Obst.)

Auch am Beispiel des hier mal eben so aufgestellten Mutterfolgesatzes wird erneut verständlich, das der Primzahlsatz ein Sonderfall eines Universalsatzes sein muss, dem wir uns schrittweise nähern. Jedenfalls wird dem Primzahlsatz dessen heutige Bedeutung nur noch historisch zustehen, sobald die übergeordneten mathematischen Strukturen und Zusammenhänge verstanden worden sind.

Aber warum verbrauche ich Ihre Zeit auf dieser Nebenbaustelle, anstatt unsere Reise zur Quelle des Verstehens der Wachstumsfunktion der Primzahlenfolge fortzusetzen? Ganz einfach darum: Da es sich bei der Mutterfolge um eine Art Idealfolge handelt, die berechenbar ist und deren mathematische Formulierung zudem trivial ist, wäre der Beweis des Mutterfolgesatzes für die Mathematikprofis vermutlich nur eine einfache Übungsaufgabe. Und dann könnte man ja mal schauen, inwieweit eine Übertragung der Ergebnisse auf die Primzahlenfolge möglich wäre.

Inzwischen habe ich mir sogar einige Dissertationen und Masterarbeiten zu dem Thema Primzahlen angeschaut und – glauben Sie mir – rein gar nichts verstanden. Das ist doch alles viel zu kompliziert und wird der einen Folge unter Äonen von vergleichbaren Folgen nicht gerecht. Es muss einen einfacheren Zugang zum Verständnis der Primzahlenfolge geben! In diesem Sinne machen wir einfach weiter.

Im nächsten Abschnitt möchte ich Ihnen vorgreifend und lediglich zur Auflockerung ein kleines Geheimnis verraten, das später noch genauer untersucht und hergeleitet wird – und dann natürlich kein Geheimnis mehr sein wird.



                                            

5 Das Geheimnis der Primzahlenzählfunktion

Nachdem wir eine wahre Folgen-Inflation primzahlenfolgeähnlicher Folgen herbeigeführt haben, stellt sich allmählich die Frage, was wir denn konkret davon haben. Ich kann mir gut vorstellen, dass viele Leser jetzt einen Motivationsschub brauchen, um hier weiterzulesen. Oder Sie haben sich diesen Motivationsschub verdient, eben weil Sie bis hierhin durchgehalten haben.

Da wäre erst einmal die Feststellung, dass die Primzahlenfolge keine so sehr besondere oder gar geheimnisvolle Folge ist, wie viele Menschen heute noch gern glauben. Sie gehorcht offensichtlich denselben Gesetzmäßigkeiten wie eine unendlich große Menge weiterer Folgen auch. Es muss sich also um ein universelles Gesetz handeln, dem alle diese Folgen gemeinsam gehorchen, das aber eben auch für die Primzahlenfolge gilt.

Des Weiteren muss dieses Gesetz irgendwie mit der Konstruktion des sich ständig erweiternden Primzahlenautomaten aus dem Film „Die Türme von Prim“ zusammenhängen. Dabei sind bestimmte Konstruktionsmerkmale jedoch offensichtlich von geringer Bedeutung. So hat der Austausch der Oszillatoren durch Zufallsgeneratoren makroskopisch betrachtet so gut wie nichts an den erzeugten Folgen verändert.

Was nach weitergehenden Überlegungen am Ende schließlich noch übrig bleibt, ist die Regel 4. Dem Automat wird gemäß dieser Regel stets der nächste Prim-Oszillator (oder ein sonstiger Oszillator) oder ein Zufallsgenerator genau dann hinzugefügt, wenn alle schon vorhandenen Oszillatoren/Generatoren in der jeweiligen Runde N nicht null liefern. Dabei steigt der Wertebereich der neu zu installierenden Oszillatoren/Generatoren stetig an, denn er entspricht ja immer genau der Rundenzahl – der aktuell bearbeiteten natürlichen Zahl N.

Nun passiert folgendes:
Mit jedem neu hinzugefügten Oszillator/Generator wird eine weitere Chance auf eine Null hinzugefügt. Diese neue Chance auf eine Null vermindert aber wiederum künftig die Wahrscheinlichkeit, dass ein neuer Oszillator/Generator hinzugefügt wird. Die Hemmung neuer Oszillatoren/Generatoren kann daher nicht Überhand nehmen, sie reguliert sich selbständig herunter. Der Kybernetiker oder Regelungstechniker spricht hier von einer inhärenten Rückkopplung, die zu einem sog. geschlossenen Regelkreis bezüglich der Generierungsrate neuer Oszillatoren/Generatoren führt.

Dieser Sachverhalt ist von derart essenzieller Bedeutung, dass ich ihn noch einmal mit einfachen Worten und in zwei Sätzen formulieren möchte:

Je mehr Oszillatoren/Generatoren momentan installiert werden,
desto weniger sind künftig möglich.

Je weniger Oszillatoren/Generatoren momentan installiert werden,
desto mehr sind künftig möglich.

Dieser Regelungsprozess findet dauerhaft statt, so dass sich nach einer Einschwingphase ein Gleichgewicht zwischen Freigabe und Unterdrückung weiterer Oszillatoren/Generatoren einstellt. Aber auf welche Generierungsrate stellt sich das System letztendlich ein?

Da es hierfür keinen Schiedsrichter gibt und auch sonst kein Mensch in die Erzeugung z. B. der Primzahlenzählfunktion eingreift, muss die Natur hierfür eine Lösung parat haben. Und die hat sie auch. Sie verfügt für derartige Fälle über die natürlichen Wachstumsgesetze, die sich dann im Auftauchen der Eulerschen Zahl e oder des natürlichen Logarithmus in den das System beschreibenden Gleichungen bemerkbar machen.

WACHSTUM? Aber was wächst da konkret und wovon ernährt es sich?

Die Nahrung ist schnell erklärt. Es sind die natürlichen Zahlen, die dauerhaft und absolut gleichmäßig in den Automat hineinströmen. Eine mathematisch gesehen recht einfach zu handhabende Nahrungsquelle also.

Wie in den folgenden Abschnitten noch herausgearbeitet wird, ist das Ding, was da wächst, die Distanz D! Also der Kehrwert der Wahrscheinlichkeit p, mit der in der nächsten Runde N ein nächster Oszillator/Generator im Automat installiert wird. D ist relativ gut proportional zu ln(N) und unter gewissen Umständen, die später noch genau betrachtet werden, fallen D und ln(N) sogar zusammen. Bei dem Wachstum von D handelt es sich also um logarithmisches Wachstum.

Damit haben wir das Geheimnis der Primzahlenzählfunktion zu einem beträchtlichen Teil gelüftet. Was aber genau der Primzahlsatz bedeutet (oder genauer: ein alternativer Satz bedeuten würde, wenn er korrekt die Streckenverhältnisse von Teilstrecken zur Gesamtstrecke beschreiben würde), wird später noch Schritt für Schritt hergeleitet.

Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, dass es mit den bis jetzt erlangten Erkenntnissen über primzahlenfolgeähnliche Folgen sehr einfach möglich ist, derartige Folgen nach diversen, weitgehend frei wählbaren Vorgaben zu konstruieren. Durch Betrachtung idealisierter und/oder vereinfachter Folgen wird es dann immer einfacher werden, auch die Mathematik der Primzahlenfolge an sich zu begreifen und gut verständlich zu beschreiben.



                                            

6 Konstruierte Folgen mit ganzzahligen Folgengliedern

Im vorigen Abschnitt wurde die tatsächlich besondere Funktionsweise der bisher betrachteten Folgen grob skizziert. Sie verfügen alle über eine inhärente Rückkopplung, die ihnen ihr makroskopisches Verhalten vermittelt. Mit diesem Wissen und mit den übrigen in den bisherigen Abschnitten gewonnenen Kenntnissen ist es uns jetzt sogar möglich, primzahlenfolgeähnliche Folgen mit einer Vielzahl vorgegebener Merkmale zu designen.

Auch diese Retorten-Folgen mit ihren nach festgelegten Regeln ermittelten Folgengliedern werden makroskopisch betrachtet ähnliche architektonische Merkmale aufweisen wie die Primzahlenfolge und alle übrigen bisher betrachteten Folgen auch – sofern uns kein Design-Fehler unterläuft.

Unser zum Universalwerkzeug aufgebohrter Primzahlenautomat wird jetzt nicht mehr benötigt und kann erstmal eingemottet werden. Denn die Glieder der konstruierten Folgen werden nicht mehr mittels Oszillatoren oder in Zufallsexperimenten ermittelt sondern direkt ausgerechnet. Die Folgenglieder werden daher ab sofort nicht mehr mit den bereits verwendeten Bezeichnungen sondern mit Ki,n bezeichnet. Diese Bezeichnung soll daran erinnern, dass es sich um das i-te Folgenglied einer konstruierten Folge mit dem Wert n handelt.

Konstruierbar sind z. B. Folgen, deren Glieder Ki,n für alle i nur Vielfache von 2 (oder irgendeiner anderen Zahl größer als 2) sind. Oder Folgen, deren Glieder nur Quadratzahlen und deren Vielfache sind. Oder ... oder ... oder.

Auf diese Möglichkeiten soll hier jedoch nicht weiter eingegangen werden, weil sie momentan nicht zielführend sind. Vielleicht stelle ich an anderer Stelle eine Auswahl aus meiner Ideensammlung zusammen, sofern ich irgendwann mal die Zeit dafür finde.

Um hier den roten Faden wieder aufzunehmen, ersinnen wir die Konstruktionsvorschrift für eine möglichst idealisierte Folge, lassen diese Folge im Computer entstehen und schauen uns dann ihre makroskopischen Merkmale an. Aber wie geht das?

Wie bereits in dem Beitrag „Die Türme von Prim“, dort im Abschnitt 9, Gln. (9.1), (9.2), (9.5) und (9.6) hergeleitet wurde, lässt sich bis zu dem letzten bis dahin ermittelten Folgenglied Kk eine Wahrscheinlichkeit pk berechnen, mit der in der nächsten Runde N ein nächstes Folgenglied auftritt. Hier soll pk nun mit dem Erwartungswert gleichgesetzt werden. Der Kehrwert von pk soll hier entsprechend als Erwartungsdistanz Dk verstanden werden. Sie wird wie folgt berechnet:

Dk + 1 = Dk ⋅ Kk / (Kk  −  1).

Die Erwartungsdistanz Dk ist also der rechnerisch ermittelte Abstand zwischen dem Wert des aktuellen (k-ten) Folgenglieds Kk,m (= m) und dem Wert des nächsten Folgenglieds Kk+1,n (= n) auf der Zahlengeraden. Wenn nichtganzzahlige Folgenglieder erlaubt oder alle Erwartungsdistanzen ganze Zahlen wären, dann ergäbe die Addition der aktuellen Erwartungsdistanz zum aktuellen Folgenwert bereits den nächsten Folgenwert. Wir bekämen sehr einfach eine ideale Folge. Leider sind wir momentan noch bei Folgen mit ausschließlich ganzzahligen Folgengliedern, während die Distanzen überwiegend gebrochene Zahlen sind.

Eine annähernd ideale Folge kann man dennoch sehr einfach bekommen, beispielsweise indem man bei nicht ganzzahligen Erwartungsdistanzen mit Hilfe eines binären Zufallsgenerators die nächstkleinere oder die nächstgrößere ganze Zahl auswählt. Ich verwende gern die Aufmodulierung von Rauschen wie folgt:

Kk+1 = Kk + Round(Dk+1 + Random(1000)/1000.0 − 0.5).

Einfach nur zu runden wäre zwar eine Option, aber eine schlechte. Dies würde zu einer hässlichen Welligkeit in den Graphen einiger Kennwerte der Folge führen, was sich leicht plausibilisieren lässt. Darauf wird weiter unten noch genauer eingegangen.

Wollte man nun beispielsweise eine Retorten-Folge mit Folgengliedern erzeugen, die ausschließlich Vielfache von Drei sind, könnte man z. B statt der aktuellen Distanz D das nächste Vielfache von Drei zum letzten Folgenglied addieren, um das nächste Folgenglied zu bekommen. Die dadurch entstehenden Streckenfehler könnten ggf. zwischengespeichert und im nächsten Iterationsschritt verrechnet werden. Allgemein ist die Vorgehensweise so, dass mit der Distanz D eine zu verbrauchende Strecke berechnet wird, die man durch beliebig wählbare Streckenabschnitte ausfüllen muss. Dabei dürfen auch größere Streckenstücke angespart oder geborgt werden. Wichtig ist nur, dass die Folgenglieder monoton wachsen. In der Primzahlenfolge geschieht übrigens dasselbe.

Man kann also von einer Anfangsbedingung (K1, D1) ausgehend eine idealisierte Folge konstruieren, indem fortwährend die Erwartungsdistanz Dk für jeden nächsten Schritt explizit berechnet und zum aktuellen Folgenwert addiert wird. Schauen wir uns als Beispiel die auf diese Weise konstruierte Folge mit der Anfangsbedingung K1 = 2 und D1 = 1 einmal genauer an. Wie immer, vergleichen wir die Folge mit der Primzahlenfolge anhand der in Abschnitt 1 genannten drei Eigenschaften.


1.) Das Wachstumsverhalten der konstruierten Folge

Die generierte Anzahl an Folgengliedern bis zu einer natürlichen Zahl N wird hier als Funktion πK(N) bezeichnet, wobei der Index K auf die konstruierte Folge hinweist. Im Bild 6.1 ist der Verlauf graphisch dargestellt.


Bild 6.1: Zählfunktion der konstruierten Folge πK(N) und die Primzahlenzählfunktion π(N)


In den folgenden Bildern 6.2 und 6.3 werden die Verläufe für beide Konstruktionsvarianten mit „nur runden“ und „mit aufmoduliertem Rauschen“ gezeigt, um die glättende Wirkung des Rauschens zu verdeutlichen. Allerdings möchte ich Experimentatoren davor warnen, die dunkelgrünen Kurven wie dargestellt als reproduzierbar zu erwarten. Mit der Initialisierung der Random-Funktion (Randomize) verlaufen sie jedes Mal anders und können auch überwiegend oberhalb oder unterhalb der hellgrünen Kurve liegen. Denn auch hier prägen die ersten Glieder der Folge sehr lange deren weiteren Verlauf.


2.) Asymptotische Äquivalenz der Anzahl konstruierter Folgenglieder

Es gilt vermutlich auch für alle hier besprochenen konstruierten Folgen allgemein der Zusammenhang (Primzahlsatz-Äquivalent, vgl. auch Gln. (1.1), (2.1), (3.1) und (4.1)):

(6.1)

Die den Formeln (1.2), (2.2), (3.2) und (4.2) entsprechende Formel ist:

(6.2)


Bild 6.2: Asymptotisches Verhalten der Zählfunktion πK(N) und der Primzahlenzählfunktion π(N)


Die auf derart simple Weise iterativ konstruierte Folge weist eine verblüffende Ähnlichkeit mit der Primzahlenfolge auf. Der größte Unterschied ist die erheblich schnellere Annäherung an die Asymptote. Ja, sie wird sogar rasch erreicht und dann unendlich oft durchquert. Zumindest deutet alles darauf hin, dass es so weitergehen wird. Hieraus nährt sich meine weiter oben geäußerte Vermutung, dass dies für die dort dargestellten Folgen der Regelfall sein sollte. Ausnahmen ausgenommen.

3.) Asymptotische Äquivalenz der Summe der konstruierten Folgenglieder

Eine entsprechende Gleichung wie für die Primzahlensumme (vgl. Gl. 1.3) lässt sich auch für die Summe der Glieder der konstruierten Folge angeben:

(6.3)

Anders ausgedrückt, mit der horizontalen Asymptote bei 1:

(6.4)


Bild 6.3: Asymptotische Äquivalenz der Summe der konstruierten Folgenglieder


Auch der Vergleich unseres dritten Vergleichsmerkmals zeigt die frappierende Ähnlichkeit der beiden Folgen. Allerdings nähert sich die konstruierte Folge der Asymptote von unten statt wie bei der Primzahlenfolge von oben. Aber wie ein Vergleich mit Bild 3.7 zeigt, bewegt sich auch der überwiegende Teil der Zufallsgeneratorenfolgen in dieser Region. Die konstruierte Folge lehnt sich weniger an die Primzahlenfolge sondern tendenziell mehr an die Mutterfolge an, die ja den wahrscheinlichsten Verlauf für zufallsgenerierte Folgen darstellt.


Die Stellgröße des inhärenten Regelkreises der konstruierten Folge

Ich möchte in diesem Beitrag nicht auch noch tiefer in die Regelungstechnik einsteigen, aber die Gelegenheit ist günstig, um sich mit dem inhärenten Regelkreis aller hier besprochenen Folgen etwas mehr vertraut zu machen. Wem das zu weit geht, der kann den Rest dieses Abschnitts einfach überspringen.

Der Index i unserer Nomenklatur Ki,n für die Folgenglieder adressiert das i-te Folgenglied. Gleichzeitig weist er auf die i-te Iteration bei der Konstruktion der Folge hin. Und schließlich kann er auch als der i-te Regelungstakt einer diskreten Regelung angesehen werden. Der zweite Index ist der Wert des Folgengliede, dies entspricht einer Position n auf der Zahlengeraden. Die im Regelungstakt i berechnete Erwartungsdistanz Di+1 kann als Stellwert zum Einstellen der nächsten Position n + 1 angesehen werden.

Die Erwartungsdistanz Di+1 (blaue Kurve im Bild 6.4) wäre die ideale Stellgröße für Ki+1,n+1 = ni+1, wenn für n nicht ausschließlich ganze Zahlen zulässig wären. Die Beschränkung auf ganze Zahlen bedingt eine Quantisierung des Stellwerts (das Runden, grüne Kurve). Diese führt zu der Welligkeit der hellgrünen Kurven in den Bildern 6.2 und 6.3. Das aufmodulierte Rauschen (rote Kurve) führt dazu, dass die Wirkung der so diskretisierten Stellgröße der idealen Stellgröße näher kommt. Dazu muss man noch wissen, dass die kompakten roten Blöcke durch ein Inkrementrauschen verursacht werden, wobei sich die rote Kurve im linken Teil eines Blocks überwiegend unten und im rechten Teil überwiegend oben aufhält. Der Effekt entspricht dem einer Pulsweitenmodulation. Im Ergebnis wird die Quantisierung der Stellgröße dadurch nahezu komplett aufgehoben.


Bild 6.4: Die Stellgröße des inhärenten Regelkreises der konstruierten Folge


In diesem Abschnitt sind wir unserem Ziel ein großes Stück näher gekommen. Wir haben anhand eines konkreten Beispiels gezeigt, dass wir jetzt in der Lage sind, primzahlenfolgeähnliche Folgen durch iterative Berechnungen zu konstruieren. Diverse Eingriffsmöglichkeiten erlauben es uns, Retorten-Folgen mit vorgegebenen Eigenschaften zu designen. Dies funktioniert aber nur deshalb, weil wir bereits eine Menge über diese Folgen in Erfahrung gebracht haben.

Nun begeben wir uns auf das letzte Stück unserer Reise. Wir holen noch einmal tief Luft und tauchen bis auf den Grund unseres gigantischen Folgen-Ozeans hinab. Dorthin, wo der Ursprung aller dieser Folgen zu finden sein wird: Die Stammmutter aller hier besprochenen Folgen. Sie wird uns Weisheiten lehren, nach denen sich die Menschen seit jeher gesehnt haben!



                                            

7 Berechnete Folgen mit reellen Folgengliedern

Wir haben die Menge der primzahlenfolgeähnlichen Folgen bereits in mehreren Stufen immer weiter ausgedehnt. Dabei sind wir jedoch stets bei Folgen mit ausschließlich ganzzahligen Folgengliedern geblieben. In einer letzten, aber für unser Vorhaben essenziell wichtigen Verallgemeinerungsstufe geben wir diese Beschränkung auf natürliche Zahlen N ∈ ℕ jetzt auf und lassen Folgen mit reellen Folgengliedern n ∈ ℝ zu.

Bei Zählfunktionen wird jetzt statt z. B. πK(N) zur besseren Unterscheidung x(n) geschrieben. Die Funktionswerte x1 = 1, x2 = 2, …, xk = k sind jedoch (wie bisher auch) stets ganzzahlige Werte (xi ∈ ℕ), d. h. x(n) erfüllt auch hier die Aufgabe einer Zählfunktion, obwohl das Inkrementieren jetzt bei reellen n stattfindet. x(n) ist die Umkehrfunktion von n(x).

Die Bedeutung der neuen Zählfunktion soll hier aber für ein besseres Verständnis der folgenden Ausführungen grundsätzlich anders interpretiert werden. Der Wert x der Funktion soll als die x-te Generation innerhalb einer Generationenfolge verstanden werden, denn diese letzte Verallgemeinerung führt uns zu Folgen, die selbsthemmendes Wachstum gemäß einer natürlichen Logarithmusfunktion beschreiben.

An dieser Stelle wären vermutlich noch weitere Erläuterungen hilfreich, aber ich will lieber strikt den roten Faden weiterverfolgen. Deshalb erfolgt jetzt umgehend die Konstruktion einer Folge, und zwar völlig analog zu der Folge aus dem vorigen Abschnitt, jetzt aber mit reellen Folgengliedern. Die Iterationsvorschrift zur Berechnung der Glieder wird hierfür fast unverändert übernommen, es entfällt lediglich das Runden auf ganzzahlige Werte. Ganz wichtig ist an dieser Stelle die bewusste zur Kenntnisnahme, dass trotz der zu hinterfragenden Sinnhaftigkeit die bisherige Vorschrift zur Berechnung der Erwartungsdistanz Dx+1 unverändert angewendet wird:

Dx+1 = Dx ⋅ nx / (nx − 1).

Die ursprüngliche Herkunft dieser Gleichung kann anhand der Gln. (9.5) und (9.6) des Beitrags „Die Türme von Prim“ nachvollzogen werden, aber ihre weiterreichende Gültigkeit verwundert an dieser Stelle schon ein wenig.

Die Berechnung des nächsten Folgenglieds erfolgt nun ohne aufmoduliertes Rauschen und ohne zu runden:

nx+1 = nx + Dx+1.

Gegeben sei nun noch die schon aus dem vorangegangenen Abschnitt bekannte Startbedingung:

n1 = 2,
D1 = 1.

Eine Gegenüberstellung der berechneten Folge mit der Primzahlenfolge nach dem schon aus diversen vorangegangenen Abschnitten bekannten Schema bedarf hier nicht mehr vieler neuer Worte.


1.) Das Wachstumsverhalten der berechneten reellen Folge

Die berechnete Anzahl an Folgengliedern (entsprechend der Anzahl Iterationen bzw. „Generationen“) bis zu einer vorgegebenen Zahl n wird hier als Funktion x(n) bezeichnet. Im Bild 7.1 ist ihr Verlauf graphisch dargestellt.


Bild 7.1: Zählfunktion der berechneten Folge x(n) und die Primzahlenzählfunktion π(N)


Ein Vergleich mit Bild 6.1 zeigt, dass sich gegenüber der diskreten Variante dieser Folge an der Anzahl der Folgenglieder kaum etwas geändert hat. Ein direkter Vergleich von x(n) mit πK(N) ist in diesem Bild nicht sinnvoll darstellbar, denn bei N = 1013 beträgt die Abweichung lediglich 0.0064%.


2.) Asymptotische Äquivalenz der Anzahl berechneter reeller Folgenglieder

Es gilt vermutlich auch für alle hier besprochenen berechneten Folgen mit reellen Gliedern allgemein der Zusammenhang (Primzahlsatz-Äquivalent, vgl. auch Gln. (1.1), (2.1), (3.1), (4.1) und (6.1)):

(7.1)

Die den Formeln (1.2), (2.2), (3.2), (4.2) und (6.2) entsprechende Formel ist:

(7.2)


Bild 7.2: Asymptotisches Verhalten der Zählfunktion x(n) und der Primzahlenzählfunktion π(N)


Bemerkenswert ist der relativ lange währende Einschwingvorgang dieser Funktion, wie das Bild 7.3 zeigt. Bei etwa n = 760000 wird die Asymptote unterschritten, bei etwa n = 1.206 ⋅ 10+11 gibt es ein lokales Minimum und danach strebt die Funktion (vermutlich) wieder zur Asymptote hin. Wie oft die Asymptote im weiteren Verlauf noch gekreuzt wird, wäre eine spannende Frage an die Mathematikprofis.


Bild 7.3: Asymptotisches Verhalten der Zählfunktion x(n) bis n = 1013


Aufgrund meiner bisherigen Einsichten und diverser Beobachtungen wie diese hier habe ich persönlich mich schon längst von der Idee verabschiedet, die Primzahlenfolge würde die Asymptote niemals erreichen. Sie wird es tun und sie wird die Asymptote dann im weiteren Verlauf unendlich oft kreuzen.

3.) Asymptotische Äquivalenz der Summe der berechneten reellen Folgenglieder

Eine entsprechende Gleichung wie für die Primzahlensumme (vgl. Gl. 1.3) lässt sich auch für die Summe der reellen Glieder Fi der berechneten Folge angeben (der Buchstabe F steht hier für Float und soll an die reellen Folgenglieder erinnern):

(7.3)

Anders ausgedrückt, mit der horizontale Asymptote bei 1:

(7.4)


Bild 7.4: Asymptotische Äquivalenz der Summe der berechneten reellen Folgenglieder


Auch hier zeigt ein Vergleich des Bildes 7.4 mit Bild 6.3, dass sich am makroskopischen Verlauf der Summenfunktion nichts Wesentliches ändert, wenn man exakte Berechnungen mit reellen Zahlen durchführt. Die durch die Quantisierung verursachte Welligkeit aus Bild 6.3 ist verschwunden, der grundsätzliche Verlauf ist aber gleich; die Asymptote bei 1 bleibt bestehen.

Aber was haben wir damit konkret erreicht?

Wir haben diesen weiten Weg bis hierher bewältigt, um zu begreifen, dass die Architektur der Primzahlenfolge einem universellen Gesetz entspringt, das eine immense Gestaltungskraft entwickelt. Vielfältigen Manipulationen an den diversen hier eingeführten Folgenklassen vermögen die makroskopischen Eigenschaften der Folgen nicht grundsätzlich zu verändern; die Architektur der Folgen erweist sich als äußerst robust.

Mit dem letzten Verallgemeinerungsschritt in diesem Abschnitt, der Einführung der reellen Folgenglieder Fi,n = n ∈ ℕ, haben wir uns befähigt, jetzt exakte Berechnungen durchführen zu können. Zuvor haben wir schon die starre Kopplung der Prim-Oszillatoren der Primzahlenfolge und deren verwandten Oszillatorenfolgen überwunden. Wir haben den Zufall der Zufallsgeneratorenfolgen eliminiert. Wir haben so viel über diese Folgen gelernt, dass wir sie sogar maßgeschneidert mit bestimmten Eigenschaften ihrer Glieder designen können. Aber trotz all dieser vielen Modifikationen haben wir das mächtige, allen hier betrachteten Folgen offensichtlich zugrunde liegende Gesetz nicht gestört. Es ist immer noch da! Völlig ungestört!

Wir sind jetzt auf dem Grund unseres immensen Folgenozeans angekommen und erwarten, hier etwas Wertvolles zu finden. Aber was könnte es denn überhaupt sein? Es müsste etwas sein, was den Ursprung der Gesetzmäßigkeit aller hier betrachteten Folgen repräsentiert. Etwas Perfektes. Etwas, das uns neue Erkenntnisse über die Primzahlenfolge und alle ihre Verwandten liefert. Etwas, das zu einer gewissen Entzauberung der Primzahlenfolge führen muss. Etwas, das die drei hier mitgeführten Merkmale unmittelbar erklärt und diesbezügliche Beweise wie den Beweis des Primzahlsatzes auf das Niveau der Schulmathematik reduziert.

Es dürfte uns wohl klar sein, dass dieses Etwas wiederum eine Folge oder vielleicht auch eine weitere Folgenklasse sein muss. Eine Perfekte Folge oder Folgenklasse, natürlich. Und falls es sich um eine neue Klasse handeln sollte, dann wird es gewiss eine Folge in dieser Klasse geben, die als einzige eine weitere, ganz besondere Eigenschaft aufweisen wird. Diese eine, einzige, einzigartige Folge nenne ich die Stammmutter aller primzahlenfolgeähnlichen Folgen – und damit auch die Stammmutter der Primzahlenfolge an sich.

Wir sind jetzt gut gewappnet für den letzten Beitrag meiner Primzahlen-Episode, in dem die Primzahlenfolge entzaubert wird. Zumindest ein kleines Stück weit.


Weiter geht es hier: Die Entzauberung der Primzahlenfolge



                                            

Erstellung dieser Seite am 15.11.2017
Letzte Aktualisierung dieser Seite am 01.01.2018
Autor: Heinrich Bednarek


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