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Die Entzauberung der Primzahlenfolge


π2/6
Niemals behält irgend jemand
irgend etwas für immer
für sich allein!




                                            

Empfohlene Vorkenntnisse

•  Die Primzahlen-Anekdote
•  Video „Die Türme von Prim (Teil 1 – Kurzversion)“
•  Die Türme von Prim
•  Primzahlenfolgeähnliche Folgen

•  Glossar (öffnet sich im neuen Tab/Fenster)


Inhaltsverzeichnis

1 Eine besondere Schwester der Primzahlenfolge
2 Die Distanz – der Weg zur Erkenntnis?
3 Die Mathematik der Stammmutterfolge aller geregelten Folgen
4 Erkenntnisübertragung auf primzahlenfolgeähnliche Folgen
5 Berechnete Folgen mit reellen Folgengliedern
6 Konstruierte Folgen mit ganzzahligen Folgengliedern
7 Zufallsgeneratorenfolgen
8 Oszillatorenfolgen
9 Die Wiederverzauberung der Primzahlenfolge



                                            

1 Eine besondere Schwester der Primzahlenfolge

Im letzten Abschnitt 7 „Berechnete Folgen mit reellen Folgengliedern“ des Beitrags „Primzahlenfolgeähnliche Folgen“ haben wir eine Folge mit reellen Gliedern (Fi,n  ∈ ℝ) und den vorgegebenen Anfangswerten F1,2 = 2 und D1 = 1 berechnet und diskutiert. Mit diesen beiden Anfangswerten ist die gesamte Folge bis ins Unendliche exakt festgelegt. Mit der Vereinbarung, dass Fi,n = ni synonym verwendet werden dürfen, gilt die folgende einfache Iterationsvorschrift:

Dx+1 = Dx ⋅ nx / (nx - 1),
nx+1 = nx + Dx+1.

Mit den Anfangsbedingungen errechnet sich der zweite Distanzwert D2 wie folgt:

D2 = D1 ⋅ n1 / (n1 - 1),
D2 = 1 ⋅ 2 / (2 - 1) = 2.

Bis zu dieser Stelle gibt es noch keinen Unterschied zwischen unserer exakt berechenbaren Folge und der Primzahlenfolge. Jedoch greift ab jetzt bei der Primzahlenfolge die starre Kopplung der Oszillatoren. Der erste (und bisher einzige) Prim-Oszillator O1,2 hat in der nächsten Runde 3 keinen Nulldurchgang, weshalb die Zahl Drei als zweites Glied (Prim-Oszillator O2,3) der Primzahlenfolge ermittelt wird. Bei der berechneten Folge hingegen erfolgt die Berechnung des nächsten Glieds wie folgt:

n2 = n1 + D2,
n2 = 2 + 2  = 4.

Beide Folgen werden von nun an unterschiedlich verlaufen (vgl. Abschnitt 7 im Beitrag „Primzahlenfolgeähnliche Folgen“). Wie wir aber auch gesehen haben, ist die Architektur beider Folgen nicht grundverschieden sondern eher sehr ähnlich. Die spannende Frage ist jetzt, ob sich die beiden scheinbar ungleichen Geschwister „genetisch“ so sehr ähneln, dass bestimmte bei der einen Folge festgestellte Eigenschaften und Merkmale auch bei der anderen Folge unterstellt werden können.

Etwas mehr auf die Mathematik bezogen meine ich damit folgendes:
Lassen sich beispielsweise die für eine der beiden Folgen erbrachten Beweise auf die andere Folge übertragen?
Wenn ja – unter welchen Bedingungen und mit welchen Einschränkungen?
Wenn nicht – warum nicht?

Diese Frage wird uns von nun an ständig begleiten. Aber weil die Primzahlenfolge bereits seit Äonen gründlich untersucht wird und sich als überaus widerspenstig und – was ihre Geheimnisse anbelangt – als sehr schweigsam erwiesen hat, konzentrieren wir uns hier lieber auf die vernachlässigte ungleiche Schwester, befragen diese und schauen auch nach ihrer Mutter. Es ist zu erwarten, dass die Mathematik der reellen Folgen wesentlich griffiger ist als die Mathematik der Oszillatorenfolge, die einem bizarren Pseudo-Zufall unterliegt.



                                            

2 Die Distanz – der Weg zur Erkenntnis?

Im Abschnitt 5 „Das Geheimnis der Primzahlenzählfunktion“ des Beitrags „Primzahlenfolgeähnliche Folgen“ war bereits davon die Rede, dass die Distanz D die wesentliche Größe eines inhärenten Regelkreises ist, der das Wachstum der Primzahlenfolge und auch aller anderen hier besprochenen Folgen maßgeblich beeinflusst. Es wurde angenommen, dass D einem logarithmischen Wachstum unterliegt. Im Abschnitt 6 des Beitrags wurde dann anhand einer konstruierten Folge festgestellt, dass die Distanz D die Stellgröße des inhärenten Regelkreises darstellt (siehe dort die Bilder 6.1 bis 6.4).

Wir werden dieser Sache jetzt systematisch auf den Grund gehen, wofür wir zunächst die schon erwähnte „Schwester“ der Primzahlenfolge bemühen wollen. Deshalb könnte es sich lohnen, vorab nochmal einen Blick auf die Bilder 7.1 bis 7.4 zu dieser Folge im Abschnitt 7 „Berechnete Folgen mit reellen Folgengliedern“ des Beitrags „Primzahlenfolgeähnliche Folgen“ zu werfen.

Wie bereits besprochen, lässt sich zu jedem Folgenglied Fi (= ni) iterativ die zugehörige Distanz Di berechnen. Der natürliche Logarithmus ln(ni) lässt sich direkt aus den ni berechnen. Diese Daten reichen für eine grobe Übersicht über die Verhältnisse schon mal aus. Im Bild 2.1 sind D(n), ln(n) und die Differenz D(n) − ln(n) über n aufgetragen.


Bild 2.1: Zusammenhang zwischen D(n) und ln(n) bei einer Folge mit den Anfangswerten n1 = 2 und D1 = 1


Es sieht stark danach aus, dass für große n (n → ∞) der einfache Zusammenhang D(n) = ln(n) + C bestehen könnte. Der Wert C beträgt etwa 1.0896719286 für n in der Größenordnung 1012 und wächst noch sehr langsam. Ob C tatsächlich ein Grenzwert ist oder nur sehr langsam wächst, kann ich nicht beurteilen. Dies wäre eine von diversen Fragen, die ich gern interessierten Mathematikern stellen möchte.

Das Bild 2.1 gilt nur für die Folge, die mit den Anfangswerten n1 = 2 und D1 = 1 berechnet wurde. Andere Kombinationen der Anfangswerte n1 und D1 ergeben andere Abstände zwischen D(n) und ln(n). Wir haben es hier also wiederum mit einer unendlich großen Folgenklasse primzahlenfolgeähnlicher Folgen zu tun, was deren makroskopische Architektur anbelangt.

Dieser Umstand erinnert mich daran, dass ich die Stammmutter aller dieser Folgen aufspüren wollte. Und ich ahne auch schon, dass aus der Menge der hier betrachteten Folgen wiederum eine unendliche Menge an Kandidaten separiert werden kann und ich die Stammmutter letztendlich selber werde auswählen müssen.

Die logische Frage, die sich beim Betrachten von Bild 2.1 regelrecht aufdrängt, ist die folgende: Gibt es Wertepaare (n1, D1), bei denen D(n) gegen ln(n) strebt für n → ∞?

Ich habe den Parameterraum abgesucht und die im Bild 2.2 dargestellte Funktion D1(n1) gefunden, die mich sehr an einen natürlichen Logarithmus erinnert, was wohl kein Zufall sein dürfte:


Bild 2.2: Kurve mit Wertepaaren (n1, D1), für die vermutlich D(n) = ln(n) für n → ∞ gilt


Nun habe ich doch tatsächlich die Qual der Wahl. Ich wähle selbstverständlich den Schnittpunkt mit der horizontalen Geraden bei 1. Der Schnittpunkt des Logarithmus hat dort den Wert n = e, das ist doch ein gutes Omen. Und – liegt der Schnittpunkt von D1(n1) nicht exakt um 1 weiter rechts? Leider nicht, es sind 1.030537329… . Diese Schnittpunktkoordinate habe ich etwas genauer ermittelt, um sie im Internet recherchieren zu können, ohne allzu viele Telefonnummern als Treffer zu erhalten. Sie beträgt etwa 3.74881915767696… Leider bin ich auch hier nicht weitergekommen. Ich weiß einfach nicht, was das für eine Konstante ist – wenn es überhaupt eine Konstante ist. Und wenn es eine zusammengesetzte Konstante ist, würde ich gern wissen, aus welchen Konstanten sie gebildet wird. Für gute Hinweise wäre ich daher sehr dankbar!

Ich habe mich nach längerem Nachdenken und mit einem etwas mulmigen Gefühl im Bauch dazu entschieden, die Folge mit der Anfangsbedingung n1 ≈ 3.74881915767696 und D1 = 1 als die Stammmutter aller primzahlenfolgeähnlichen Folgen sowie der Primzahlenfolge selbst anzusehen und diese Folge auf Erkenntniszugewinn hin zu untersuchen. Falls diese Spekulation sich als unhaltbar erweisen sollte, wäre sie dennoch einen Versuch allemal wert.

Allerdings habe ich mit anderen Wertepaaren, die auf der roten Kurve im Bild 2.2 liegen, experimentiert. Sie liefern alle im Grunde dieselben Ergebnisse hinsichtlich unserer drei Vergleichsmerkmale. Aber es gibt auch kuriose Besonderheiten. So existiert beispielsweise ein Wertepaar (n1 ≈  2.24553683 und D1 ≈ 0.40370972), für welches das Produkt über alle Ni2/(Ni2 − 1) gleich π2/6 ist. Na so was! Und es gibt sogar unendlich viele Wertepaare, die Folgen definieren, für die dieses Produkt gleich π2/6 ist. Diese Wertepaare bilden eine Kurve, die die rote Kurve im Bild 2.2 bei dem genannten Wertepaar schneidet.

Wie erwartet, entfällt bei dem Wertepaar n1 ≈ 3.74881915767696 und D1 = 1 offenbar die Konstante C für große n und es gilt D(n) ∼ ln(n), was jedoch noch zu beweisen wäre, falls es nicht schon irgendwo bewiesen worden ist (vgl. Bild 2.3).


Bild 2.3: Trifft die asymptotische Äquivalenz D(n) ∼ ln(n) für n → ∞ zu?


Wir haben sie also vermutlich gefunden, die Stammmutter der Primzahlenfolge. Ab jetzt können wir diese vermeintliche Stammmutter als die perfekteste Folge unseres hier betrachteten Folgenozeans ansehen, während die Primzahlenfolge ein hässlicher, missratener Abkömmling dieser Stammmutter ist, der an der schlimmstmöglichen Krankheit einer Folge leidet, nämlich an der strengsten starren Kopplung ihrer Oszillatoren, die überhaupt möglich ist. Aber ausgerechnet aus dieser Störung erwächst die einzige mir heilige Eigenschaft der Primzahlenfolge: sie beinhaltet nur Primzahlen, und zwar alle!

Aber welche neuen Erkenntnisse könnte die Stammmutter uns über die Primzahlenfolge schon noch vermitteln? Um diese Stammmutter zu finden, haben wir doch derart brutal immer weiter abstrahiert und verallgemeinert, dass scheinbar keine sinnvolle Verbindung mehr besteht zwischen der Primzahlenfolge und dieser sogenannten Stammmutter. Oder? Scheinbar! Doch tatsächlich haben wir das einzige verbindende Band bis zum Schluss nicht durchtrennt. Dies ist der inhärente Regelkreis, der allen hier betrachteten Folgen innewohnt. Und dessen Stellgröße ist die Distanz D. Es ist deshalb auch vor allem die Distanz, die wir uns anschauen müssen, um einen größtmöglichen Erkenntniszugewinn zu erlangen.



                                            

3 Die Mathematik der Stammmutterfolge aller geregelten Folgen

Die Distanz D der Stammmutterfolge unterliegt einem selbsthemmenden Wachstum gemäß einer natürlichen Logarithmusfunktion. So jedenfalls meine Behauptung. Aber schauen wir uns das erst mal genau an, versuchen dabei eine Deutung aus dem wahren Leben und akzeptieren an dieser Stelle ein paar Wiederholungen.

Gegeben sei die folgende Startbedingung:

(3.1)
(3.2)

Die Startposition n1 auf der Zahlengeraden könnte der Anfangspopulation einer Spezies (z. B. Kaninchen) in der Generation 1 oder der anfänglichen Länge einer Strecke (z. B. Baumhöhe) in einem iterativen Prozess (Generationenfolge, Jahrgänge, usw.) entsprechen. D1 könnte dementsprechend den letzten Zuwachs der Population oder der Zunahme einer Länge (usw.) in einer vorigen Generation entsprechen. Für die nachfolgenden Generationen (= Iterationsschritte) kann man folgende Iterationsformeln ansetzen:

(3.3)
(3.4)

Wir haben im vorigen Abschnitt den folgenden Zusammenhang zwischen Dx und ln(nx) für große n – was auch mit großen x einhergeht – gefunden:

(3.5)

Wird der Startwert n1 passend gewählt, entspricht Dx für große n bzw. x (also nach vielen Iterationen bzw. Generationen) ungefähr dem natürlichen Logarithmus von nx:

(3.6)

Den optimalen Startwert n1,opt habe ich im letzten Abschnitt schon genauer beschrieben. Der Zahlenwert beträgt n1,opt ≈ 3.74881915767696. Die Verläufe D(n), ln(n) und D(n) − ln(n) sind für diesen optimalen Startwert im Bild 2.3 dargestellt.

Um eine logarithmische Darstellung der Annäherung an die (vermutete) horizontale Asymptote bei ln(nx) zu ermöglichen, wird Gl. (3.6) auf eine Asymptote bei 0 umgestellt:

(3.7)
(3.8)

Bild 3.1 zeigt die Annäherung an die horizontale Asymptote bei 0 bis n = 1012.


Bild 3.1: Annäherung an die horizontale Asymptote bei 0 gem. Gl. (3.8)


Aber wie kommt es eigentlich, dass diese simple Iterationsvorschrift gem. Gln. (3.3) und (3.4) uns zum natürlichen Logarithmus führt? Hierzu muss man sich vor Augen führen, dass die Iterationsvorschrift eine Rückkopplung beinhaltet, die zum einen ein übermäßiges Wachstum der Di und ni hemmt und zum anderen eine Störung dieses Wachstums ausregelt.

Würde beispielsweise die Distanz D, die auch als ein Wachstumsfaktor gedeutet werden kann, in einem Iterationsschritt aufgrund einer positiven Störung (Addition einer positiven Störgröße) zu stark anwachsen, dann würde auch n entsprechend stark anwachsen, was dazu führen würde, dass der Wachstumsfaktor D in den darauffolgenden Iterationsschritten weniger stark anwachsen würde, denn n / (n − 1) läge dann näher bei 1. Das Ausregeln einer solchen Störung im Verlauf D(n) zeigt Abb. 3.2. D(n) strebt nach der Störung sofort wieder in Richtung ln(n), im Bild also auf die horizontale Asymptote bei 1 zu.


Bild 3.2: Ausregelung einer positiven Störung im auf ln(n) normierten Verlauf von D(n)


Würde der Wachstumsfaktor D in einem Schritt hingegen durch Addition einer negativen Störgröße zu schwach anwachsen, dann würde auch n entsprechend weniger stark anwachsen, was dazu führen würde, dass der Wachstumsfaktor D in den darauffolgenden Iterationsschritten tendenziell stärker anwachsen würde, denn n / (n − 1) wäre dann ja ein wenig größer (siehe Abb. 3.3).


Bild 3.3: Ausregelung einer negativen Störung im auf ln(n) normierten Verlauf von D(n)


Das mathematische Universum löst ein Gleichgewichtsproblem zwischen zu schnellem und zu langsamem Wachstum in einem rückgekoppelten System in der Regel so, dass daraus eine Funktion resultiert, in der in irgendeiner Form der natürliche Logarithmus bzw. die Eulersche Zahl mit enthalten ist. Und so ist es auch hier.

Ich muss zugeben, dass es sich technisch gesehen um einen sehr schlechten Regelkreis handelt. Das Ausregeln einer Störgröße dauert Äonen. Aber die Unendlichkeit kann damit umgehen!

Kommen wir nach diesen ersten einfachen Einsichten zum systematischen Vergleich der Stammmutterfolge mit der Primzahlenfolge.


1.) Das Wachstumsverhalten der Stammmutterfolge

Die Anzahl der Folgenglieder der Stammmutterfolge wächst monoton (aber nicht streng monoton) mit n ∈ ℝ. Diese Funktion wird hier mit x(n) bezeichnet.


Bild 3.4: Wachstumsverhalten der Stammmutterfolge bis n = 100000000


Wer sich jetzt die Augen reibt und mutmaßt, ich hätte die rote Kurve im Plot vergessen, der irrt sich. Die beiden Kurven liegen makroskopisch gesehen tatsächlich übereinander. Mikroskopisch betrachtet natürlich nicht, und weil dies so spannend ist, habe ich hier noch zwei weitere Ausschnitte parat, siehe Bilder 3.5 und 3.6.


Bild 3.5: Wachstumsverhalten der Stammmutterfolge bis n = 100000


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Bild 3.6: Wachstumsverhalten der Stammmutterfolge bis n = 1000


Bei etwas größeren Zahlen sieht das Verhältnis x(n) / π(N) etwa so aus:

x(1012) / π(1012) = 37607950245 / 37607912018 = 1,00000101648437.

Wobei ich nicht abschätzen kann, welcher Anteil des Fehlers von etwa 1 ppm auf die unvollkommene Numerik des Rechners entfällt. Immerhin wurden eine Billion Iterationen ausgeführt. Auf jeden Fall drängt sich die Vermutung regelrecht auf, dass die Anzahl der Glieder der Stammmutterfolge asymptotisch äquivalent ist zu π(N). Das wäre natürlich noch zu beweisen, falls es nicht schon bewiesen worden ist. Eine Skizze für eine vermutlich sehr einfache Beweisführung ergibt sich sogleich aus den weiteren Betrachtungen.


2.) Asymptotische Äquivalenz der Anzahl Folgenglieder der Stammmutterfolge

Nun betrachten wir das Primzahlsatz-Äquivalent für die Stammmutterfolge. Nehmen wir also auch für diese Folge formal den Zusammenhang analog zu π(N) an und berücksichtigen dabei auch Gl. (3.6). Des Weiteren ist es für ein besseres Verständnis sinnvoll, in die Gleichungen einen Index k einzupflegen, der auf die k-te Iteration (= Generation) hinweist:

(3.9)
(3.10)
(3.11)

Wie wir sehen, hat das Primzahlsatz-Äquivalent hier Konkurrenz bekommen. Neben dem Faktor ln(nk) aus Gl. (3.11) gibt es hier noch den Faktor Dk aus Gl. (3.10). Letzterer führt zu einer etwas besseren Annäherung an die entsprechende Kurve für die Primzahlenfolge, siehe Bild 3.7. Zur Unterscheidung soll die alternative Zählfunktion mit xD(n) bezeichnet werden.


Bild 3.7: Asymptotisches Verhalten der Zählfunktionen x(n), xD(n) und der Primzahlenzählfunktion π(N)


An dieser Stelle möchte ich auf einen Widerspruch im Primzahlsatz-Äquivalent hinweisen, der auch im Primzahlsatz selbst verankert ist. Anhand der Iterationsvorschrift gemäß Gln. (3.3) und (3.4) wird klar, dass nk aus der Aufsummierung von k unterschiedlich großen Di resultiert, wobei D1, D2, …, Dk streng monoton wachsen:

(3.12)

Und da für große ni gem. Gl. (3.6) Di ungefähr gleich ln(ni) gilt, trifft auch die folgende Näherung zu:

(3.13)

In den Gln. (3.10) und (3.11) wird nk jedoch jeweils aus k gleichen Summanden gebildet, wobei diese auch noch den größten Werten Dk bzw. ln(nk) entsprechen (für xk = k ist Dk die letzte und somit größte Distanz). Die Angabe einer Länge in der Form L = k ⋅ D macht aber nur Sinn, wenn die Strecke aus k gleich langen Stücken D besteht. Oder etwa nicht?

Gleich lange Stücke würde ja bedeuten, dass in der Formel

(3.14)

für den Primzahlsatz und in der Formel

(3.15)

für das Primzahlsatz-Äquivalent der Stammmutterfolge jeweils der Logarithmus der Gesamtstrecke einer mittleren Teilstrecke entsprechen muss, damit diese Gleichungen Sinn machen. Das kann aber nicht sein, denn bei unserer Funktion ist der Logarithmus der Gesamtstrecke die größte aufsummierte Strecke, da die Distanzen Di ja streng monoton wachsen. Das ist doch paradox. Oder vielleicht auch nicht?

Nein, es ist in der Tat nicht paradox. Hier ist nämlich zu berücksichtigen, dass der in den obigen Gleichungen angegebene Zusammenhang für den Grenzfall N bzw. n gegen Unendlich gilt und dass in diesem Fall für die Logarithmusfunktion besondere Regeln gelten. Die Logarithmusfunktion steigt für große Argumente nur extrem flach an. Zur Veranschaulichung vergleichen wir das Integral

(3.16)

mit einem Rechteck der Breite (nk − 1) und der Höhe ln(nk) und lassen k gegen Unendlich streben. Das Integral ist:

(3.17)

Mit ln(1) = 0 erhalten wir:

(3.18)

Der Quotient aus dem Integral der Logarithmusfunktion und der Rechteckfläche (nk − 1)⋅ln(nk) sieht nun so aus:

(3.19)

Die Summanden −nk und 1 im Zähler sowie der Summand ln(nk) im Nenner können für nk → ∞ vernachlässigt werden. Wird der verbleibende Bruch gekürzt, bleibt 1 übrig. Die Rechteckfläche und das Integral sind also asymptotisch äquivalent. Das Rechteck kann somit an Stelle der Fläche unterhalb ln(n) gesetzt werden. Das Bild 3.8 veranschaulicht diesen Sachverhalt.


Bild 3.8: Die Fläche zwischen der roten Linie und der blauen Kurve ist für nk → ∞ vernachlässigbar klein


So weit, so gut. Leider sind die Dinge hier aber nicht ganz so einfach, wie man sie gern hätte. Denn diese Betrachtung gilt erst mal nur für die Flächen. Wir wollen aus dem Diagramm aber an bestimmten Positionen ni senkrechte Teilstrecken ln(ni) entnehmen und der bisherigen erreichten Gesamtstrecke nk auf der waagrechten n-Achse hinzufügen. Es ist ja gut nachvollziehbar, dass unsere Flächenbetrachtung anwendbar wäre, wenn die entnommenen senkrechten Teilstrecken gleiche Abstände voneinander auf der n-Achse hätten. Tatsächlich ist es aber so, dass die Abstände immer größer werden. Sie wachsen ebenfalls logarithmisch. Dieser Sachverhalt wirkt den obigen Überlegungen entgegen. Es ist also noch zu beweisen, dass auch in diesem ungünstigeren Fall trotzdem die größte Strecke verwendet werden kann und der daraus resultierende relative Fehler für nk → ∞ gegen 0 geht.

Der Ansatz eines Beweises könnte wie folgt aussehen: Mit Gl. (3.12) und Gl. (3.6) (Di ≈ ln(ni) für große i) erhält man

(3.20)

Zu beweisen wäre nun, dass für große k gilt:

(3.21)

Einsetzen von Gl. (3.20) in Gl. (3.21) ergibt einen Ausdruck der Form n ≈ k ⋅ ln(n), der im Grunde Gl. (3.11) entspricht. Einmal im Kreis gedreht weiß ich hier nicht mehr weiter und überlasse den Beweis den Mathematikprofis. Bild 3.9 zeigt aber, dass die Vermutung einer asymptotischen Äquivalenz des k-fachen der längsten Teilstrecke und der Summe aller Teilstrecken Di ≈ ln(ni) wohl berechtigt ist.


Bild 3.9: Verhältnis zwischen den Vielfachen der längsten Strecke und der Summe aller Teilstrecken


Für ein tieferes Verständnis der Primzahlenfolge und für die Herleitung des Primzahlsatzes ist diese Betrachtung wohl hilfreich. Aber für die Summenbildung müssen die Folgenglieder ni bzw. Ni bereits bekannt sein. Zur Abschätzung des weiteren Verlaufs der Zählfunktionen jenseits der letzten bekannten Werte der Folgen nutzt diese verbesserte Näherung daher nichts, zumindest nicht direkt. Der Primzahlenfolge wird man wohl keine Gleichung dafür abtrotzen können. Ihrer Stammmutterfolge vermutlich aber schon. Das überlasse ich aber lieber den Mathematikern.

Die Di und ni der Stammmutterfolge lassen sich exakt berechnen, weshalb auch nk exakt berechenbar ist. Im Bild 3.10 ist n über der Generationenfolge xk = k gemäß Gl. (3.12) aufgetragen. Das entspricht der Umkehrfunktion der Zählfunktion x(n). Dieser exakte Verlauf ist mit nD bezeichnet. nln resultiert aus Formel 3.13 und ist eine sehr gute Näherung für den exakten Verlauf. Die Kurve k ⋅ ln(nk) weicht dagegen – wie erwartet – stärker vom exakten Verlauf ab.


Bild 3.10: Exakt berechnete nk (= nD) und Näherung mit k ⋅ ln(nk) bei der Stammmutterfolge


Fazit:
Statt der Näherung k ⋅ ln(nk) ∼ nk sollte besser die Näherung Gl. (3.13) verwendet werden, da sie viel genauer ist und das eigentlich Gemeinte korrekt wiedergibt. Überträgt man diese Erkenntnis auf den Primzahlsatz, wäre die Bildung des Quotienten Streckensumme / Gesamtstrecke eine wesentlich genauere Variante, wenn es nur um das Verständnis der Zusammenhänge geht:

(3.22)

Dafür opfern wir allerdings die Prognosefähigkeit der Zählfunktion, denn für die Summenbildung müssen die Pi und π(N) ja bereits bekannt sein. Man sollte daher besser einen neuen Satz formulieren:

„Die Summe der Logarithmen aller Primzahlen bis N ist asymptotisch äquivalent zu  N für N → ∞.“

Zum Vergleich ist die gem. Gl. (3.22) verbesserte rote Kurve der entsprechenden roten Kurve aus Bild 3.7 im Bild 3.11 dargestellt. Die grüne Kurve zeigt die entsprechende Funktion für die Stammmutterfolge. Beide Kurven konvergieren wesentlich schneller und ohne Überschwingen gegen die horizontale Asymptote bei 1. Die blaue Kurve fehlt hier, denn sie fällt ja gem. Gl. (3.12) sogar mit der horizontalen Asymptote bei 1 zusammen.


Bild 3.11: Asymptotisches Verhalten Streckensumme / Gesamtstrecke der Primzahlenfolge und ihrer Stammmutterfolge


3.) Asymptotische Äquivalenz der Summe der Stammmutterfolgeglieder

Im ersten Abschnitt „Die Primzahlenfolge“ des Beitrags „Primzahlenfolgeähnliche Folgen“ wurden die Gln. (1.3) und (1.4) zur Beschreibung der asymptotischen Äquivalenz der Primzahlensumme aufgeführt. Die entsprechenden Gleichungen lassen sich auch für die Mutterfolge aufschreiben:

(3.23)

Als Quotient ausgedrückt, mit der horizontalen Asymptote bei 1:

(3.24)

Mit Gl. 3.6 erhalten wir jetzt noch einen alternativen Quotienten:

(3.25)

Bild 3.12 zeigt die beiden alternativen Verläufe und zum Vergleich den entsprechenden Verlauf für die Primzahlenfolge.


Bild 3.12: Asymptotisches Verhalten der Summen der Glieder der Primzahlenfolge und ihrer Stammmutterfolge


An dieser Stelle ist es angebracht, die Gl. (3.23) und die entsprechende Gleichung für die Primzahlenfolge zu deuten. Wie kommt Gl. (3.23) überhaupt zustande? Und was bedeutet sie? Hier werden doch Streckensummen miteinander in Beziehung gebracht. Also wäre meiner Meinung nach die Gl. (2.23) wesentlich verständlicher, wenn man sie dementsprechend hinschreibt:

(3.26)

Auf der linken Seite steht jetzt die Summe der einzelnen Strecken ni multipliziert mit dem Logarithmus der längsten Strecke, auf der rechten Seite steht ungefähr die Summe der natürlichen Zahlen bis nk. Wir tun so, als ob nk ganzzahlig wäre, und korrigieren die rechte Seite derart, dass dort die Formel zur Berechnung der Summe der natürlichen Zahlen steht:

(3.27)

Da nk in der Regel nicht ganzzahlig ist, entsteht ein kleiner Fehler, den wir aber getrost vernachlässigen können. Nach dieser ersten Korrektur wird wieder der Quotient der Summen gebildet mit der horizontalen Asymptote bei 1:

(3.28)

Mit Gl. (3.6) erhalten wir

(3.29)

Und da wir von weiter oben bereits wissen, dass k ⋅ Dk nur eine Näherung für die Summe der Di ist, korrigieren wir die Gleichung (3.29) noch einmal entsprechend:

(3.30)

Mit nochmaliger Berücksichtigung von Gl. (3.6) gilt wiederum auch:

(3.31)

Diese Überlegungen lassen sich analog auf die Primzahlenfolge anwenden. Die resultierende Gleichung sieht dann so aus:

(3.32)

Meine Ausführungen sind zwar noch lange keine Beweise (diese überlasse ich gerne den Mathematikern), aber als Vermutung formuliert bedeuten sie folgendes:

„Die Summe der Produkte aus Primzahlen und deren Logarithmen bis N ist asymptotisch äquivalent zur Summe der natürlichen Zahlen bis N für N → ∞.“

Im Bild 3.13 sind die entsprechenden Verläufe für die Primzahlenfolge und ihre Stammmutterfolge dargestellt. Ein Vergleich mit Bild 3.12 zeigt, dass die Kurven sich wesentlich schneller der horizontale Asymptote nähern. Die Kurve für die Primzahlenfolge erreicht die Asymptote sehr rasch und schneidet sie dann beliebig oft.


Bild 3.13: Asymptotisches Verhalten der Summe der Produkte aus Folgengliedern und deren Logarithmen


Fazit:

Offenbar basiert die bisher verwendete Näherungsformel für die Summe der Primzahlen auf der Unkenntnis der tatsächlichen Zusammenhänge. Die Umstellung der Formel entsprechend den plausiblen Zusammenhängen führt zu einer wesentlich verbesserten Näherungsformel.

Ohne viel Forschung betrieben zu haben und derzeit noch ohne Beweise – daher ist alles mit Vorbehalt und lediglich als Vermutung zu verstehen – hat die Stammmutterfolge uns doch schon eine Menge Details zur Primzahlenfolge offenbart. Was die drei ausgewählten Vergleichsmerkmale anbelangt, haben wir für jedes Merkmal mindestens einen Erkenntniszugewinn erlangt:

1.) Der inhärente Regelkreis der Primzahlenfolge wird verständlich. Er erklärt anschaulich das Wachstumsverhalten der Folge. Das makroskopische Wachstumsverhalten kann mit der Stammmutterfolge iterativ relativ genau berechnet werden.

2.) Der Primzahlsatz kann verständlich hergeleitet werden. Aufgrund der Deutung des Satzes kann von ihm ein neuer Satz abgeleitet werden, der anschaulich die Wachstumscharakteristik der Primzahlenfolge beschreibt.

3.) Der Satz über die Primzahlensumme kann verständlich hergeleitet, gedeutet und präziser formuliert werden.

Was meine hier nicht erbrachten Beweise anbelangt, bin ich recht zuversichtlich, dass sie für Mathematikprofis kein großes Problem darstellen sollten. Ich verstehe mich selbst lediglich als Ideenlieferant und habe gerade mal über Weihnachten 2017 damit begonnen, mich dieser Sache wegen hobbymäßig etwas mehr mit Mathematik zu befassen. Mein Vorteil als Nichtmathematiker ist eindeutig der, dass ich eine Lizenz dafür habe, mich irren zu dürfen. Im Übrigen hatte ich auch früher schon des Öfteren den Mut aufzubringen, mich evtl. zu blamieren – wobei es aber regelmäßig nicht so weit kam. Kurzum, ich überlasse das Feld mitsamt dem erzeugten Durcheinander jetzt lieber wieder den Mathematikprofis. Ansonsten hoffe ich auf möglichst viel konstruktive Kritik von meinen Lesern, wobei ich mir insgeheim wünsche, dass sich auch der ein oder andere Mathematiker unter ihnen befindet.

Aber halt! Wir sind noch nicht ganz fertig! Wir befinden uns momentan noch direkt bei der Stammmutterfolge auf dem Grund unseres riesigen Folgenozeans. Da ein langsames Auftauchen aus großen Tiefen angeraten ist, schauen wir uns währenddessen nochmal an, was die gewonnenen Erkenntnisse anhand unserer drei Vergleichsmerkmale für die übrigen betrachteten Folgenklassen bedeuten. Vor allem die Formulierung der diversen Primzahlsatz-Äquivalente müssen doch für irgendetwas gut gewesen sein…



                                            

4 Erkenntnisübertragung auf primzahlenfolgeähnliche Folgen

Die Erkenntnisse, die wir anhand der Stammmutterfolge erlangt haben, sollten sich im Idealfall auf alle primzahlenfolgeähnliche Folgen übertragen lassen. Um sich hierüber ohne größeren Aufwand eine erste grobe Übersicht zu verschaffen, reicht es aus, die im Beitrag „Primzahlenfolgeähnliche Folgen“ durchlaufene Verallgemeinerungskette jetzt nochmal in umgekehrter Richtung zu durchlaufen. Bei der nun zunehmenden Spezialisierung in Richtung der Primzahlenfolge ist auf jeder Stufe zu prüfen, was sich ändert und welche Relevanz diese Änderungen haben.

In diesem Beitrag beschränke ich mich dabei jedoch auf die Betrachtung der im vorangegangenen Beitrag „Primzahlenfolgeähnliche Folgen“ formulierten Primzahlsatz-Äquivalente, weil für die anderen Merkmale ganz ähnliche Überlegungen angestellt werden können.

Angenommen, das Primzahlsatz-Äquivalent für die Stammmutterfolge (Gln. (3.9) bis (3.11)) sei bereits bewiesen. Kann dieser Beweis in der Spezialisierungskette nutzbringend verwertet werden? Im Idealfall bis hin zum Primzahlsatz an sich? Dies könnte vermutlich einen neuen, wesentlich einfacheren Beweis des Primzahlsatzes zur Folge haben als die bisher aufgestellten.



                                            

5 Berechnete Folgen mit reellen Folgengliedern

Die Stammmutterfolge ist eine berechnete Folge mit reellen Gliedern. Sie zeichnet sich gegenüber anderen berechneten reellen Folgen dadurch aus, dass für sie die Gl. (3.6) gilt, was an den speziellen Anfangswerten n1,opt ≈ 3.74881915767696 und D1 = 1 liegt.

Werden als Startwerte für die Iterationen beliebige (aber sinnvolle) Werte n1 und D1 eingesetzt, strebt Dx für große x nicht mehr asymptotisch gegen ln(nx). Es kommt stattdessen gem. Gl. (3.5) eine Konstante hinzu. Der Graph für Dx ist also im log. Maßstab um die Konstante C(n1, D1) verschoben, siehe Beispiel mit n1 = 2 und D1 = 1 im Bild 2.1.

Die Gl. (3.11) für die asymptotische Äquivalenz muss also um die Konstante C ergänzt werden:

(5.1)

Als Quotient ausgedrückt, mit der horizontalen Asymptote bei 1:

(5.2)

Die Konstante C wächst nicht, im Gegensatz zu ln(nk). Daher kann im Zähler der zweite Summand für xk, nk → ∞ vernachlässigt werden. Es bleibt also auch für beliebige (sinnvolle) n1 und D1 bei der asymptotischen Äquivalenz gem. Gl. (3.11).



                                            

6 Konstruierte Folgen mit ganzzahligen Folgengliedern

Bei der Übertragung der Ergebnisse auf Folgen mit ganzzahligen Gliedern N ∈ ℕ ist als einziger wesentlicher Unterschied zu den im vorangegangenen Abschnitt betrachteten Folgen zu berücksichtigen, dass für die Addition des nächsten Streckenstücks nicht der exakte neue Distanzwert Dx+1 sondern (z. B.) ein auf die nächste ganze Zahl gerundeter Wert zu verwenden ist.
Gl. (3.4) könnte dann z. B. so aussehen:

(6.1)

Man kann die Rundung als kleine Störung des exakten Distanzwertes Dx auffassen. Da aufgrund der im Abschnitt 3 besprochenen Rückkopplung Störungen im Distanzwert Dx langfristig ausgeregelt werden, wirkt sich das Runden auf die makroskopischen Eigenschaften der resultierenden Folge – also insbesondere auf das asymptotische Verhalten – nicht aus.

Insbesondere der in Gln. (3.9) bis (3.11) angegebene Zusammenhang für N → ∞ (Primzahlsatz-Äquivalent für konstruierte primzahlenfolgeähnliche Folgen) bleibt bestehen.

Das Bild 6.2 im Beitrag „Primzahlenfolgeähnliche Folgen“ verdeutlichen dies auch nochmal.

Im Bild 6.1 ist analog zu Bild 2.1 der Zusammenhang zwischen D(N) und ln(N) dargestellt, hier nun aber für die Folge mit ganzzahligen Gliedern. Die Verläufe sind nahezu deckungsgleich. Die Verschiebung D(N) − ln(N) ist mit 1.052 etwas kleiner als bei der Real-Folge (1.090).


Bild 6.1: Zusammenhang zwischen D(N) und ln(N) mit den Anfangswerten N1 = 2 und D1 = 1



                                            

7 Zufallsgeneratorenfolgen

Die Übertragung der Ergebnisse auf Random-Folgen ist schon differenzierter zu betrachten, denn Zufall und Beweis sind in der Mathematik eine knifflige Sache. Ob das Primzahlsatz-Äquivalent aus Abschnitt 3 des Beitrags „Primzahlenfolgeähnliche Folgen“ Sinn macht oder nicht, hängt von der Sichtweise ab.

In dem genannten Beitrag wurde gezeigt, dass Random-Folgen bei Berücksichtigung aller möglichen Permutationen den unteren Grenzfall πR(N) = 1 für N → ∞ und den oberen Grenzfall πR(N) = N − 1 für N → ∞ haben.

Andererseits wurde dort auch gezeigt, dass bei einem normalen Zufallsprozess eine Folge entsteht, die sich an die Mutterfolge der Zufallsgeneratorenfolgen anschmiegt. Die Mutterfolge ist dort definiert als eine reelle Folge, in deren Umgebung die wahrscheinlichsten Verläufe der Zufallsgeneratorenfolgen zu erwarten sind. (Diese Mutterfolge hat mit der hier besprochenen Stammmutterfolge nur bedingt etwas zu tun, abgesehen davon, dass die makroskopische Architektur beider Folgen sehr ähnlich ist.)

Geht man von einem normalen Zufallsprozess aus, werden hier anstelle der jeweiligen berechneten (und ggf. gerundeten) Distanzen Dx Zufallswerte DR verwendet. Das damit verbundene Rauschen moduliert im mikroskopischen Maßstab einen Random Walk in die Random-Folge hinein. Im makroskopischen Maßstab wirkt sich dies jedoch praktisch nicht aus, denn auch hier ist der regelnde Rückkopplungseffekt wirksam. Der Zusammenhang πR(N) ⋅ ln(N) ∼ N für N → ∞ (Primzahlsatz-Äquivalent für Zufallsgeneratorenfolgen) bleibt daher auch hier bestehen.

Im Bild 7.1 ist analog zu Bild 2.1 der Zusammenhang zwischen D(N) und ln(N) dargestellt, hier nun aber für drei Beispielfolgen aus der Klasse der Zufallsgeneratorenfolgen. Diese Beispielfolgen wurden bereits im Abschnitt 3 „Zufallsgeneratorenfolgen“ des Beitrags „Primzahlenfolgeähnliche Folgen“ besprochen. Die Folge 001 ist die Folge mit der größten Differenz D(N) − ln(N) = 3.76, die Folge 003 entspricht etwa dem Mittelfeld mit D(N) − ln(N) = 1.74 und die Folge 120 ist die Folge mit der kleinsten (negativen!) Differenz D(N) − ln(N) = −0.13.


Bild 7.1: Typischer Zusammenhang zwischen D(N) und ln(N) bei Zufallsgeneratorenfolgen



                                            

8 Oszillatorenfolgen

Bei der Übertragung des Ergebnisses auf Oszillatorenfolgen ist zu bedenken, dass diese Folgen ein immenses Langzeitgedächtnis aufweisen, weshalb der Einfluss der ersten Folgenglieder am stärksten ist und sich auch am längsten im graphischen Verlauf der Folgen bemerkbar macht. Die Wirkung später hinzugefügter Folgenglieder nimmt kontinuierlich ab. In der Regel werden die anfänglichen Einschwingvorgänge im weiteren Verlauf (N → ∞) vollständig verschwinden. Das vermute ich zumindest aus meiner heutigen Sicht (noch). Denn ob es Oszillatorenfolgen geben kann, auf die dies nicht zutrifft, habe ich bisher noch nicht systematisch betrachtet.

Bei den Oszillatorenfolgen tritt stets ein Effekt auf, den ich gern als Honig-Effekt bezeichne. Dabei handelt es sich um die verzögerte Wirksamkeit der zuletzt ermittelten Oszillatoren, was deren Einfluss auf die Ermittlung der nächsten Oszillatoren anbelangt. Denn mit größer werdenden Periodenlängen der Oszillatoren dauert es immer länger, bis die Oszillatoren sich erstmalig mit ihren Nulldurchgängen als Blockierer bemerkbar machen. Die Bedeutung dieses Effekts müsste noch genauer untersucht werden. Es ist vorstellbar, dass dieser Effekt zur Aufhebung des inhärenten Regelkreises oder zu dessen Instabilität führt. Da hierzu fundierte Kenntnisse über unendliche Produktreihen erforderlich sind, die ich schlichtweg nicht habe, muss ich hier erst mal klein beigeben.

Anders angedacht, kann man sich erst mal anhand der möglichen Permutationen von Oszillatorenfolgen bzw. von Zufallsgeneratorenfolgen vor Augen führen, dass alle Oszillatorenfolgen in der Menge der Zufallsgeneratorenfolgen mit enthalten sind. Dann kann man annehmen, dass der Pseudo-Zufall dafür sorgen sollte, dass sich die Oszillatorenfolgen für N → ∞ an die im Beitrag „Primzahlenfolgeähnliche Folgen“ besprochene Mutterfolge annähern. Oder?

Oder vielleicht auch nicht. In dem mich etwas beunruhigenden Bild 8.1 ist analog zu Bild 7.1 der Zusammenhang zwischen D(N) und ln(N) für vier Beispielfolgen aus der Klasse der Oszillatorenfolgen dargestellt. Inklusive der Primzahlenfolge selbst, die ja auch zu dieser Klasse gehört. Diese Beispielfolgen wurden im Abschnitt 2 „Oszillatorenfolgen“ des Beitrags „Primzahlenfolgeähnliche Folgen“ ausführlich besprochen, siehe auch dort. Wie im Bild 8.1 (vor allem im direkten Vergleich mit Bild 7.1) zu erkennen ist, laufen die Differenzen D(N) − ln(N) nicht asymptotisch in Richtung eines konstanten Werts sondern divergieren stattdessen. Die spannende Frage ist nun, ob dies auf einen extrem langen Einschwingvorgang zurückzuführen ist oder ob wir es hier bereits mit Instabilitäten der inhärenten Regelkreise zu tun haben.


Bild 8.1: Typischer Zusammenhang zwischen D(N) und ln(N) bei Oszillatorenfolgen


Der allgemeine Zusammenhang πZ(N) ⋅ ln(N) ∼ N für N → ∞ (Primzahlsatz-Äquivalent für Oszillatorenfolgen) ist hier fraglich. Zwar wurde er exemplarisch für den Primzahlsatz selbst bewiesen, was aber nicht bedeuten muss, dass dies für alle Oszillatorenfolgen gilt. Ich vermute, dass hier noch reichlich Knobelpotenzial für Mathematiker vorhanden ist.



                                            

9 Die Wiederverzauberung der Primzahlenfolge

Bis zum Abschnitt 7 hat die Spezialisierung der zuvor verallgemeinerten Folgen, jetzt in umgekehrter Reihenfolge zurück in Richtung Primzahlenfolge, keine grundlegenden Probleme bereitet, was die Übertragung der in Abschnitt 3 erarbeiteten Erkenntnisse hinsichtlich des Zusammenhangs (Primzahlsatz-Äquivalente) x ⋅ ln(n) ∼ n anbelangt. In Abschnitt 8 gab es die ersten Komplikationen aufgrund der bei Oszillatorenfolgen vorhandenen starren Kopplung der Oszillatoren. Ok, das Problem ist erkannt und muss genauer untersucht werden. Aber warum sollte es bei dem letzten Übergang, bei der Übertragung des Ergebnisses von den allgemeinen Oszillatorenfolgen auf die ebenfalls zu dieser Folgenklasse zugehörigen Primzahlenfolge noch eine weitere Überraschung geben? Die Vermutung war ja, dass die Primzahlenfolge sich außer in ihren konkreten Gliedern, die alle prim sind, makroskopisch betrachtet nicht besonders herausheben sollte gegenüber den anderen primzahlenfolgeähnlichen Folgen.

Aber sie tut es doch! Und diese Überraschung kommt einer Wiederverzauberung der soeben ein wenig entzauberten Primzahlenfolge gleich. Meine weiteren Untersuchungen haben gezeigt, dass von allen bisher betrachteten primzahlenfolgeähnlichen Folgen sich die Primzahlenfolge hinsichtlich einiger Eigenschaften am besten an die Stammmutterfolge anlehnt, vgl. z. B. Bilder 3.4, 3.7 und 3.12 in diesem Beitrag mit Bildern zu analogen Betrachtungen für andere Folgen im Beitrag „Primzahlenfolgeähnliche Folgen“.

Andererseits weicht die Primzahlenfolge hinsichtlich weiterer Merkmale extrem stark von der Stammmutterfolge ab. Z. B. konvergiert der Verlauf der Differenz D(N) − ln(N) nicht, wie es aufgrund der sonst sehr guten Übereinstimmungen zu erwarten wäre, gegen 0, sondern divergiert sogar, siehe Bild 8.1.

Wie diese verblüffende Diskrepanz zustande kommt, ist für mich derzeit noch ein großes Rätsel, das mich immer wieder zum Erschaudern bringt. Nein, alle Geheimnisse will die Primzahlenfolge nach wie vor nicht preisgeben! Aber eine Idee habe ich trotzdem schon, was man sich als nächstes unbedingt genau anschauen müsste. Das sieht aber nach einer Menge weiterführender Arbeiten aus. Konkret:

Ursächlich für die Diskrepanz dürften einerseits der Einfluss der starren Kopplung der Oszillatoren sowie der Honig-Effekt und andererseits der inhärente Regelmechanismus der Primzahlenfolge sein. Der inhärente Regelkreis sorgt dafür, dass Gl. (3.22) sehr gut erfüllt wird. Diese Gleichung muss aber mit einer anderen Erwartungsdistanz D* erfüllt werden als mit der exakt berechneten Distanz D. Denn der schon erwähnte Honig-Effekt führt ja dazu, dass die zuletzt hinzugefügten Prim-Oszillatoren sich lange Zeit aus der Ermittlung weiterer Primzahlen heraushalten.

Wenn man „Die Türme von Prim“ in diesem Kontext betrachtet und sich vergegenwärtigt, dass die Nulldurchgänge der Oszillatoren den entscheidenden Einflussfaktor darstellen bei der Verhinderung weiterer Prim-Oszillatoren, dann kann man sich das folgendermaßen vorstellen:

Bild 9.1: „Die Türme von Prim“, Szene unmittelbar nach der Ermittlung der zehnten Primzahl (P10 = 29)


Früh auftretende Prim-Oszillatoren mit kleinen Periodenlängen (links: etwa O1 = 2, O2 = 3, O3 = 5) verhalten sich ähnlich wie Zufallsgeneratoren, der Pseudo-Zufall hat dort also bereits eine gute Zufallsqualität erreicht. Die zuletzt hinzugefügten Prim-Oszillatoren (rechts: O7 = 17, O8 = 19, O9 = 23) sind aber erst mal für lange Zeit unwirksam, denn sie müssen ja einen kompletten Modulo-Pi-Durchlauf bewerkstelligen, bevor sie überhaupt erstmalig mit einem Nulldurchgang Einfluss auf die weitere Primzahl-Entstehung nehmen können. Daher „rauscht“ der Primzahlautomat auf der linken Seite, in der Mitte ist eine Kombination aus „Rauschen“ und „Fließen“ vorstellbar, auf der rechten Seite „fließen die Nulldurchgänge wie zähflüssiger Honig eine Wand herunter“.

Bild 9.2 verdeutlicht diesen Sachverhalt noch etwas anschaulicher. Mit fortschreitender Rundenzahl N wandern die Nullmarken nach unten und wirken als Primfaktoren von N, wenn sie den Boden erreichen. Der dargestellte Zustand für N = 98 zeigt, dass 2 und 7 Primfaktoren von 98 sind. In der nächsten Runde wandern die am Boden befindlichen Nullmarken wieder auf die jeweilige oberste Position, usw. Die dunkelroten Nullmarken links sind schon mehrmals durchgelaufen, die orangefarbigen befinden sich im zweiten Durchlauf und die roten rechts befinden sich in ihrem ersten Durchlauf und haben noch nie eine Rolle beim Ermitteln einer Primzahl gespielt.

Bild 9.2: Primzahlen bis N = 100, Zustand für N = 98, Veranschaulichung des sog. Honig-Effekts


Erst nach sehr vielen Durchläufen lässt sich ein Prim-Oszillator quasi als Zufallsgenerator ansehen. Dieser Aspekt ist auch der Grund dafür, warum man für die Primzahlenfolge formal zwar genauso wie für eine Random-Folge einen Erwartungswert für die Distanz D(N) mitrechnen kann, dieser Wert jedoch im statistischen Mittel stark unterschritten wird. Es treten also „zu viele“ Primzahlen auf, als aufgrund der Erwartungsdistanzen Di zu erwarten wäre.

Die anhand Bild 9.2 gewonnene Erkenntnis besagt nun auch, dass in der Gleichung

(9.1)

ein großer Teil der Faktoren auf der rechten Seite inaktiv ist und für eine zuverlässigere Angabe einer Erwartungsdistanz Dk auf 1 korrigiert werden müssten. Im mittleren Faktorenfeld muss die Korrektur in Richtung 1 partiell nach einer geeigneten, noch zu ermittelnden Funktion erfolgen. Ein Schlüssel zur Ermittlung einer passenden Korrekturfunktion könnte der Verlauf D(N) − ln(N) für die Primzahlenfolge sein, siehe Bild 8.1.

Fazit:

Für eine genauere Abschätzung der Zählfunktion π(N) bei den Primzahlen muss der Einfluss der starren Kopplung der Prim-Oszillatoren sowie der Honig-Effekt mit betrachtet werden. Ich kann mir gut vorstellen, dass für die einzelnen Prim-Oszillatoren funktionale Zusammenhänge gefunden werden könnten, die jeden Oszillator mit einem von N und/oder von π(N) abhängigen Aktivitätsfaktor zwischen „aktiv“ und „inaktiv“ versehen. Möglicherweise könnten anhand solcher Betrachtungen effizientere Verfahren für die Abschätzung von π(N) gewonnen werden als die bisher bekannten.

Nach meinem Verständnis wäre es aber vermutlich weitaus wichtiger, die Stammmutterfolge und ihre Beziehung zur Primzahlenfolge systematisch zu untersuchen. Falls der Beweis gelingen sollte, dass die Stammmutterfolge eine asymptotische Funktion zu π(N) ist, wäre man in der Primzahlenforschung möglicherweise ein bedeutendes Stück weiter.


Hier endet (vorläufig?) meine Primzahlenepisode.
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Erstellung dieser Seite am 08.12.2017
Letzte Aktualisierung dieser Seite am 25.01.2018
Autor: Heinrich Bednarek


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